SWUFE · FINANCIAL ECONOMICS

金融经济学 Financial Economics

第三讲不确定性下的决策与预期效用

精修中文笔记 · 风险与不确定性 · 效用函数与风险态度 · 风险溢价 · 风险度量 · 均值-方差分析

Lecturer: Qianqian DU
主教材: 课件《Lec 3 Decision Making under Uncertainty》· 27 页

如何使用这份笔记
本讲学习目标
一页速览（考前只看这一页）
为什么期望收益不够用
1. 01 风险与不确定性：Knight 的区分，以及一个反直觉的起点
2. 02 例 1：期望收益相同的两个项目
预期效用的框架
1. 03 效用函数与期望效用的两种形式
2. 04 状态-行动-结果：决策的严格框架
风险态度：三种人
1. 05 例 2：公平博弈与边际效用递减
2. 06 三种风险态度与 Jensen 不等式
风险溢价与风险度量
均值-方差分析
英文专业名词 · 直觉解释对照
跨讲概念索引

如何使用这份笔记

这一讲是整门课的转折点：前两讲都在描述市场，第三讲开始做决策。读法上有几条线必须抓住。第一，期望收益不足以决策——第 01 节的例 1 两个项目期望收益完全相同（都是 48.4 千美元），但选择不同，差别只在风险形态上。第二，效用函数是决策的支点——第 03 节给出 Eu(X) 的两种形式（连续/离散），第 04 节把它放进状态-行动-结果这套严格框架，第 05–06 节用 Jensen 不等式把「风险态度」翻译成「函数凹凸性」，这一步是全讲最抽象也最关键的地方：凹（u″<0）就是风险厌恶。第三，风险厌恶是可定价的——第 07 节的确定性等价与风险溢价，把「我愿意为免风险少拿多少」写成一个数 r = EX − CE。第四，风险厌恶可以被度量——第 08–09 节的 ARA 与 RRA 是本讲最有工具价值的两节，第 10 节把它们代回二次效用，得到均值-方差分析这个贯穿金融学的工具。收尾的第 11 节是实证证据，第 12 节是课件 p24 那张图与它隐含的完整逻辑。读这一讲最容易卡住的地方是第 05 节的公平博弈：它用一个可算的例子把「风险厌恶」这件事讲透，那个例子一定要自己算一遍。

本讲课件里每一个可验算的数字都独立复算过一遍，结果记在正文的例题与 flag 块里。两处需要读者留意：（1）p26 例 6 在 A=2 时算出 11.56%，正确值是 10.44%（结论方向不变，原文保留并标注）；（2）p26 把 σ² 的上标排版丢失，写成 0.342，容易被误读。另外课件 p19 的幂效用只给了 c>0，此时 u″ 恒为负，无法覆盖风险偏好与风险中性两种态度，笔记在第 12 节补上了这一点。p24 那张无差异曲线图按 U = E[r] − (A/2)σ² 的真实公式重绘，可自行复算验证，不是凭空画的形状。本讲未采用 AI 超分或手工修饰任何图像。

一页速览

考前只看这一页 · 公式要能默写，判断句要能说出口

全讲脉络

01Knight 区分 risk 与 uncertainty，但课件随即说「不必严格」——因为后面全讲都只在概率已知处推导。
02例 1：两个项目期望收益都是 48.4 千美元。期望收益不足以决策，这是全讲的立论基础。
03效用函数与 $E u (X)$ 的两种形式；用 $u (x) = x$ 算出 4.84 vs 6.8，答案选 B。
04状态-偏好框架：状态、行动、结果、偏好四要素，是前面所有公式的形式基础。
05例 2 公平博弈：拒绝公平博弈 = 边际效用递减 = $u^{''} < 0$ ，三种说法同一命题。
06Jensen 不等式把曲率翻译成决策：凹/线性/凸对应厌恶/中性/偏好，方向不能记反。
07确定性等价与风险溢价： $u (C E) = E [u (X)]$ 、 $r = E [X] - C E$ ，把风险变成一个数。
08例 4 四问复算：6.4 / 1.3816 / 3.98 / 2.42，四个数要能默写。
09ARA 与 RRA：把「有多怕风险」变成可计算的数；DARA/CARA/IARA 与 DRRA/CRRA/IRRA 分类。
10二次效用 → 均值-方差： $U = E [r] - \frac{A}{2} σ^{2}$ ，三个正当性理由（第三个只是「似乎合理」）。
11例 6： $A = 3$ 算出 4.66% < 5% 拒绝， $A = 2$ 算出 10.44% > 5% 接受。课件此处有笔误。
12p24 无差异曲线（按真实公式重绘）与 p27 实证证据：Blume-Friend 对应 CRRA，Cohn 等对应 DRRA。

必背公式

E u (X) = x \sum P r {X = x} u (x)

离散情形下的期望效用——决策的核心量。金融里绝大多数情形是离散的。→ 03 效用函数与期望效用的两种形式

E u (X) = \int_{x} u (x) f (x) d x

连续情形。 $f (x)$ 是概率密度函数。→ 03 效用函数与期望效用的两种形式

u^{''} (x) < 0 \Rightarrow E [u (X)] < u (E [X])

凹（风险厌恶）时 Jensen 不等式的方向。期望相同时偏好风险更小的那个。→ 06 三种风险态度与 Jensen 不等式

U (1) - U (0) > U (2) - U (1)

边际效用递减，等价于拒绝公平博弈——这就是风险厌恶的定义式。→ 05 例 2：公平博弈与边际效用递减

u (C E) = E [u (X)]

确定性等价的定义：效用层面的等价，不是金额层面的等价。→ 07 确定性等价与风险溢价

r = E [X] - C E

风险溢价：为换取确定结果愿意放弃的金额。风险中性者为 0。→ 07 确定性等价与风险溢价

A R A (x) = - \frac{u ^{''} ( x )}{u ^{'} ( x )}

绝对风险厌恶度。分子曲率、分母斜率，两者相除做归一化。→ 09 风险厌恶的度量：ARA 与 RRA

R R A (x) = x \cdot A R A (x)

相对风险厌恶度。乘 $x$ 把「绝对」变成「相对」，与财富水平无关。→ 09 风险厌恶的度量：ARA 与 RRA

U = E [r_{P}] - \frac{A}{2} σ_{P}^{2}

均值-方差目标函数。$A$ 是风险厌恶参数，方差前有 $\frac{1}{2}$ 是因为惩罚的是方差不是标准差。→ 10 均值-方差分析：二次效用的代价与红利

A^{*} = \frac{2 ( E [ r _{P} ] - r _{f} )}{σ _{P}^{2}}

门槛风险厌恶系数：跨过它，「买不买」的决策就翻转。例 6 中约 2.94。→ 11 例 6：均值-方差下的投资决策

μ_{P} = U_{0} + \frac{A}{2} σ_{P}^{2}

无差异曲线的一般形式。斜率 $A σ_{P} > 0$ 、曲率 $A > 0$ ，形状是算出来的。→ 12 无差异曲线与实证证据

E [u (x) = x] : E u (A) = 4.84 < 6.8 = E u (B)

例 1 的答案：用平方根效用算出选项目 B。前提是这个 $u$ 是凹的。→ 05 例 2：公平博弈与边际效用递减

必须能说出口的判断

期望收益不足以做决策：例 1 两个项目期望都是 48.4 千美元，但必须二选一，因为 $E u (A) = 4.84 \neq = 6.8 = E u (B)$ 。
风险厌恶的三个等价说法：拒绝公平博弈 = 边际效用递减 = $u^{''} < 0$ 。课件 p11 给了前两者的推导关系，它们是同一命题。
Jensen 不等式的方向由曲率决定：凹 → $E u < u (E [X])$ ；线性 → 相等；凸 → $E u > u (E [X])$ 。方向不能记反。
确定性等价的定义是 $u (C E) = E [u (X)]$ ——效用相等，不是金额相等。例 4 中 $C E = 3.98$ 远小于 $E [X] = 6.4$ 。
$ARA$ 与 $RRA$ 由同一个 $u$ 决定， $R R A = x \times A R A$ 。它们可以给出不同分类——对数效用 DARA+CRRA，二次效用 IARA+IRRA。
$U''$ 恒定不等于 ARA 恒定：二次效用 $U^{''} = - 2 b$ 是常数，但 $A R A = 2 b / (1 - 2 b x)$ 递增。判断时要看分母 $u'$。
课件 p19 的幂效用限定 $c > 0$ ，此时 $u''$ 恒负、全是风险厌恶。风险偏好需要 $c < 0$ ，课件未展开。
例 6 的判据是「$U$ 与无风险利率比」，不是与 0 比。门槛 $A^{*} \approx 2.94$ ：$A$ 跨过它决策就翻转。
课件 p26 有笔误： $A = 2$ 时 $U$ 正确值是 10.44%（课件写 11.56%），且该行把 $σ^{2}$ 的上标排版丢失写成 0.342。结论方向不变（都 > 5%，都接受）。
p24 无差异曲线向上倾斜、凸向下两条性质都由 $U$ 的表达式求导得出，不是画图约定。它与 CAPM 的直线不同， $σ$ 大时明显分开。
课件 p27 的两条实证（Blume-Friend 风险资产比例不变、Cohn 等 DRRA）都是在测相对风险厌恶随财富怎么变，不是测风险厌恶存不存在。

这一页的作用是「唤起」而不是「替代」。任何一条如果你只能背出来却说不出为什么，回到对应小节把因果链再走一遍。

Why Expected Return Is Not Enough

为什么期望收益不够用

两个期望完全相同的项目为什么必须二选一。决策需要比「平均值」更细的量。

风险与不确定性：Knight 的区分，以及一个反直觉的起点

Risk vs. Uncertainty

课件第一句就给了全讲的题眼：两个期望收益完全相同的项目，你选哪个。这个问题没有「期望收益」这一栏答案。

定义Frank Knight（1885–1962）在 1921 年区分了两个概念：risk（风险）指那些客观概率可以指定的事件；uncertainty（不确定性）指概率无法指定的事件。课件随即补了一句很实在的话：这个严格区分并不关键，两个词在文献里常被 interchangeable 地使用。

课件之所以在区分之后立刻说「不必严格」，是因为后面整讲的数学都建立在概率已给定之上。每一个公式里都出现 $P r {\cdot}$ 或密度函数 $f (x)$ ——一旦概率给不出来，这套工具就整个失效。所以那句「不必严格」不是敷衍，而是划定本讲的适用边界：我们在概率已知的世界里做决策。

risk : P r {\cdot} 可以指定 vs. uncertainty : P r {\cdot} 无法指定

Knight（1921）的区分。本讲后续全部公式都建立在概率已知的前提上。

课件 p2 列出的五个 Key Points

Uncertainty —— 不确定性从何而来，Knight 的区分，以及为什么本讲只在概率已知的情形下推导。
Expected utility —— 决策的核心量 Eu(X)，以及它的连续与离散两种写法。
Attitudes toward risk —— 三种风险态度，判据是效用函数的凹凸性。
Measures of risk aversion —— ARA 与 RRA，把「有多怕风险」变成可计算的数。
Mean-variance analysis —— 均值-方差分析，本讲的终点，也是后面几乎所有金融学工具的起点。

结论把这五点连成一条线：为什么不能只看平均（第 01 节）→ 用什么替代（第 03 节的 Eu）→ 替代品依赖什么（第 06 节的凹凸性）→ 依赖程度能否度量（第 08–09 节的 ARA/RRA）→ 度量之后怎么用（第 10 节的均值-方差）。本讲的所有内容都是这五步。

例 1：期望收益相同的两个项目

Example 1: Two Projects, Same Expected Return

两个项目期望都是 48.4 千美元。这是全讲最重要的一页——它证明期望收益不足以做决策。

定义课件 p4 给两个项目。项目 A：成功拿 100 千美元（概率 48.4%），失败拿 0（概率 51.6%）。项目 B：成功拿 64 千美元（概率 60%），失败拿 25 千美元（概率 40%）。课件的问题是：选哪个？

先算期望收益（第 05 页给了答案）：

E [R_{A}] = 100 \times 0.484 + 0 \times 0.516 = 48.4 (千美元)

项目 A 的期望收益。已独立复算，与课件一致。

E [R_{B}] = 64 \times 0.6 + 25 \times 0.4 = 48.4 (千美元)

项目 B 的期望收益。已独立复算，与课件一致。

差别在风险的形态。项目 A 是一个彩票：接近一半的概率中大奖，其余归零。项目 B 则是两个都不错的结局（64 或 25），只是概率分布不同。直觉上你应该选 B——因为「差一点就归零」的处境比「两种都能活」更糟。这份「差一点就不行」的感受，就是风险厌恶，而它只能通过效用函数写进模型（第 06 节）。

结论这一节的作用是把问题逼到墙角：期望收益不够用，那么需要什么？课件 p6 的回答是效用函数。注意这里还不能直接给出答案——因为第 03 节的 Eu(X) 算出来后，还要到第 05–06 节才知道该选哪个（结论确实是 B，但要看效用函数怎么定）。

常见误区

两个项目期望收益都是 48.4，所以它们对投资者是等价的。
期望收益相同只说明期望这个统计量相同，不说明投资者对它们的评价相同。
为什么：这是本讲全部内容的立论基础。投资者评价一个 gamble 用的是期望效用而不是期望收益，而 $E [u (X)]$ 与 $u (E [X])$ 之间没有固定的大小关系——谁大取决于效用函数的凹凸性（第 06 节）。第 03 节的计算会给出 $E u (B) = 6.8 > E u (A) = 4.84$ ，选择明确。但注意：这个结论依赖于具体的 u——换一个风险偏好的效用函数，结论可能反转。所以「期望相同所以等价」错在两处：既用错了指标，也把「同分布」误当成「同评价」。
项目 B 更好，因为它的最坏情况（25）比 A 的最坏情况（0）高。
这可以作为直觉上的理由，但它不是充分依据——最坏情况更高并不总是意味着更优。
为什么：决策要看整个分布，不是只看下界。反例很好构造：把 B 改成「成功 64 千美元概率 60%，失败 25 千美元概率 40%」vs 另一个项目「成功 100 千美元概率 47%，失败 30 千美元概率 53%」——后者期望更高、下界也更高，但在强风险厌恶者那里仍可能输给 B。只看最坏情况是最常见的直觉陷阱，因为它忽略了概率权重。本讲给的是完整的 $E [u (X)]$ 算法（第 03 节），而不是某个局部指标。

本节自测 · 正确选项以 ✓ 标出

1. 例 1 中两个项目的期望收益都是 48.4 千美元。这个事实本身能否推出投资者应该选 B？

能，因为 B 的最坏结果更高
能，因为 B 的方差更小
不能。期望相同只说明期望这个数字无法区分它们，选择必须依赖效用函数的具体形状
不能，因为期望收益计算有误

2. 关于 Knight 对 risk 与 uncertainty 的区分，下面哪一句是课件的原意？

两者必须严格区分，所有后续推导只适用于 risk
课件明确说这个严格区分并不关键，两个词常被 interchangeable 使用
uncertainty 指的是国际政治风险
课件认为不确定性无法用数学处理

The Expected Utility Framework

预期效用的框架

把「不确定性下的选择」写成可比较的数：Eu(X) 的两种形式与状态偏好框架。

效用函数与期望效用的两种形式

Utility and Expected Utility

课件给出全讲的核心量 Eu(X)：连续与离散两种写法，以及例 1 的完整解答。

定义课件 p6 给出效用函数 u(·) 的定义与两条性质。第一条是递增性：经济行为人财富越多越幸福，所以 $u^{'} (x) > 0$ 。第二条（课件 p6 之后展开）是边际效用递减，即 $u^{''} (x) < 0$ ——这才是风险厌恶的数学来源，第 06 节会用到。

课件 p8 给出期望效用的定义，分连续与离散两种情形。这是全讲第一个真正要记住的公式。

E u (X) = \int_{x} u (x) f (x) d x

X 为连续变量时。

f (x)

是 X 的概率密度函数。课件 p8 原文：when X is continuous。

E u (X) = x \sum P r {X = x} u (x)

X 为离散变量时。课件 p8 原文：when X is discrete variable。金融里的绝大多数情形（股票、债券、项目）都是离散的，所以这一支更常用。

定义课件把 Eu(X) 拆成两个部分：probability 与 utility function。这句拆分很要紧——它解释了为什么本讲要同时讲概率与效用：期望效用把「客观的分布」与「主观的评价」乘在一起了。概率是给定的（不可选择），效用函数是行为人的偏好（因人而异）。 $E [R_{A}] = E [R_{B}]$ 却 $E u (A) \neq = E u (B)$ ，原因就在这个拆分里：概率部分相同，效用部分不同。

回到例 1：课件 p7 的完整解答

课件 p7 给效用函数 $u (x) = x$ （开平方），于是例 1 有了确定的答案：

E u (x_{A}) = 0.484 \times 100 + 0.516 \times 0 = 0.484 \times 10 = 4.84

项目 A 的期望效用。已独立复算，与课件一致。

E u (x_{B}) = 0.6 \times 64 + 0.4 \times 25 = 0.6 \times 8 + 0.4 \times 5 = 6.8

项目 B 的期望效用。已独立复算，与课件一致。

结论 $E u (B) = 6.8 > 4.84 = E u (A)$ ，所以 choose project 2。注意这一步与第 02 节的关系：期望收益相同（48.4 = 48.4），但期望效用不同（4.84 < 6.8）。这就是效用函数存在的全部理由。

常见误区

期望效用就是期望收益加上一个风险调整项，所以近似算一下就行。
没有这种加法形式。 $E u (X) = \sum P r {x} u (x)$ 是逐态加总，必须把每个可能结果都算一遍效用再按概率加权。
为什么： $E [u (X)]$ 与 $u (E [X])$ 之间没有固定关系（这正是 Jensen 不等式的内容，见第 06 节），更不存在「期望收益加减一个风险项」的表达式。逐态计算是唯一的算法。好消息是离散情形下结果通常很整齐：例 1 就是 $0.484 \times 10 + 0.516 \times 0$ 这样两三项的算术。反例说明为什么不能偷懒：若把例 1 的 $u$ 从 $x$ 换成 $x^{2}$ （风险偏好），结论就反转了。
课件 p7 写的是 $u (x) = x /10$ （线性效用）。
课件 p7 的原式是 $u (x) = x$ （平方根），课件只是把 $\cdot$ 算子省略、直接写了算完后的值。
为什么：这个误读很容易发生——Beamer 导出的 PDF 里根号常与分数线视觉混淆，`get_text()` 之类的文本提取也会丢掉根号。验证方法很直接：代回例 1 复算。用 $x$ ： $E u (A) = 0.484 \times 10 + 0.516 \times 0 = 4.84$ ， $E u (B) = 0.6 \times 8 + 0.4 \times 5 = 6.8$ ，与课件答案精确吻合。若误读成线性 $u (x) = x /10$ ，则 $E u (A) = E u (B) = 4.84$ （因为期望相同），与课件的「选 B」直接矛盾——这本身就是读错的证据。

本节自测 · 正确选项以 ✓ 标出

1. 期望效用 Eu(X) 在连续与离散两种情形下的写法有何不同？

连续用积分、离散用求和；连续需要密度函数 f(x)，离散需要概率 Pr{X = x}
两者完全相同，只是记号不同
连续情形无法计算期望效用
离散情形必须先把变量连续化

2. 例 1 中用 $u (x) = x$ 算出 $E u (A) = 4.84$ 、 $E u (B) = 6.8$ ，于是选 B。如果把 u 换成 $u (x) = x^{2}$ （风险偏好），结论会怎样？

还是选 B，因为两个项目的期望收益相同
会选 A，因为风险偏好者偏好波动
无法计算，因为 x² 不适用于这种情形
两者相等

状态-行动-结果：决策的严格框架

The State-Preference Approach

课件 p9 用三个要素把「不确定性下的选择」拆开。这一节内容不多，但它是本讲后面所有公式的形式基础。

定义课件 p9 给出决策问题的三要素框架，称为 the state-preference approach。三个基本构件是：

States（状态）：不确定性由世界的状态来表示，记作 $S = {s_{1}, s_{2}, \dots, s_{l}}$ 。课件举例：未知的未来事件。
Actions（行动）：行为人采取的行动——在这个课程里就是买入证券组合。记作 $a = {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}$ 。
Consequences（结果）：行动在不同状态下导致的结果，会随状态而变。记作 $c = f (s_{k}, a)$ 。

第四个要素是偏好（preferences）：结果按偏好排序，于是偏好被写成一个函数

U = U (f (s_{1}, a), f (s_{2}, a), \dots, f (s_{l}, a))

课件 p9。偏好只取决于各个状态下的结果组合，与状态本身无关。

结论注意这套框架与第 03 节的关系： $c = f (s_{k}, a)$ 是客观的（给定状态与行动，结果确定），而 $U (\cdot)$ 是主观的。 $E u (X)$ 就是把这套语言翻译成概率语言——离散情形下 $U$ 的期望就是 $E u (X)$ 。所以第 03 节不是另起炉灶，而是这套框架的概率版。

Attitudes toward Risk

风险态度：三种人

用 Jensen 不等式把「凹/线性/凸」翻译成「厌恶/中性/偏好」，并给出可判定的检验式。

例 2：公平博弈与边际效用递减

Example 2: Fair Games and Diminishing Marginal Utility

一个期望为零的赌博，为什么风险厌恶者坚决不玩。这是「风险厌恶」这件事最干净的定义式。

定义课件 p10 给出例 2 的设置。投资（Invest）：花 1 美元，50% 概率得 2 美元、50% 概率得 0。不投资（Not invest）：确定得 1 美元。课件问：你选哪个？

例 2 的两个选择（课件 p10 表格，已核对）

例 2 的两个选择（课件 p10 表格，已核对）
	Invest · payoffs	Invest · Prob.	Not invest · payoffs	Not invest · Prob.
	2	1/2	1	1
	0	1/2

先算期望收益（课件 p11）：

E [invest] = \frac{1}{2} \times 2 + \frac{1}{2} \times 0 = 1 = E [not invest]

两个选择的期望完全相同。已独立复算。

定义课件把这种期望收益等于成本的情形称为 fair game（公平博弈）。它给了风险厌恶者一个明确定义式：

U (1) > \frac{1}{2} U (2) + \frac{1}{2} U (0)

课件 p11。左边的

U (1)

是「确定拿 1」，右边是「公平博弈的期望效用」。风险厌恶者拒绝公平博弈，说的就是这个不等式。

因果课件紧接着给了一个等价的形式，而这个形式才是理解风险厌恶的钥匙：

U (1) - U (0) > U (2) - U (1)

课件 p11。与上一式等价。左边是「财富从 0 到 1」的效用增量，右边是「从 1 到 2」的效用增量。

例题精解先自己想一步，再展开对答案

例题 1 · 用平方根效用复算例 1，并验证 Jensen 不等式方向五步：情境 → 已知 → 推导 → 结论 → 平行练习

情境你是例 1 里那位投资者，要按 $u (x) = x$ 在项目 A 与 B 之间做选择。你不只是想选出答案，还要确认「风险厌恶者为什么偏好 B」这件事本身是对的——也就是亲手验一遍 Jensen 不等式的方向。这道题分两层：先做决策，再做验证。

已知条件

项目 A：成功 100 千美元（概率 48.4%），失败 0 千美元（概率 51.6%）
项目 B：成功 64 千美元（概率 60%），失败 25 千美元（概率 40%）
效用函数 $u (x) = x$ （课件 p7 给出）
对照用： $u (x) = ln x$ （凹）、 $u (x) = 3 x$ （线性）、 $u (x) = x^{2}$ （凸）

平行练习结构同上，只换数字——先自己做，再看答案

平行练习：现在把项目 B 改成「成功 90 千美元（概率 50%），失败 25 千美元（概率 50%）」。仍用 $u (x) = x$ ，先确认期望收益，再算期望效用，最后判断是否还选 B，并说明这次结论的来源与原例有什么不同。

项目 A 不变：成功 100（48.4%），失败 0（51.6%）
新项目 B'：成功 90（50%），失败 25（50%）
$u (x) = x$

例题 1 · 用平方根效用复算例 1，并验证 Jensen 不等式方向

已知条件

项目 A：成功 100 千美元（概率 48.4%），失败 0 千美元（概率 51.6%）
项目 B：成功 64 千美元（概率 60%），失败 25 千美元（概率 40%）
效用函数 $u (x) = x$ （课件 p7 给出）
对照用： $u (x) = ln x$ （凹）、 $u (x) = 3 x$ （线性）、 $u (x) = x^{2}$ （凸）

逐步推导

算两个项目的期望收益，确认它们真的相同 $E [R_{A}] = 100 \times 0.484 + 0 \times 0.516 = 48.4$ ； $E [R_{B}] = 64 \times 0.6 + 25 \times 0.4 = 48.4$ 。两者相等，所以期望收益无法区分它们。
用 $x$ 逐态计算期望效用 $E u (A) = 0.484 \times 100 + 0.516 \times 0 = 0.484 \times 10 + 0 = 4.84$ 。 $E u (B) = 0.6 \times 64 + 0.4 \times 25 = 0.6 \times 8 + 0.4 \times 5 = 4.8 + 2 = 6.8$ 。所以 $E u (B) > E u (A)$ ，选 B——与课件答案一致。
验证 $x$ 是凹函数（这是选 B 的前提） $u (x) = x^{1/2}$ ， $u^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- 1/2} > 0$ ， $u^{''} (x) = - \frac{1}{4} x^{- 3/2} < 0$ （对一切 $x > 0$ 成立）。所以 $x$ 是凹的 → 风险厌恶 → 期望相同时偏好风险小的那个。B 的分布确实更分散（两个结局都是正的），所以风险厌恶者选 B 是自洽的。
换两个效用函数，看结论怎么变换成 $u (x) = x^{2}$ （凸，风险偏好）： $E u (A) = 0.484 \times 10 0^{2} + 0 = 4840$ ， $E u (B) = 0.6 \times 6 4^{2} + 0.4 \times 2 5^{2} = 2457.6 + 250 = 2707.6$ 。现在 $E u (A) > E u (B)$ ，改选 A。换成 $u (x) = 3 x$ （线性，风险中性）： $E u (A) = 0.484 \times 300 + 0 = 145.2$ ， $E u (B) = 0.6 \times 192 + 0.4 \times 75 = 115.2 + 30 = 145.2$ 。两者相等——因为期望收益相同，线性效用下必然相等。三种结果（选 B / 选 A / 无差异）恰好对应三种风险态度，这就是第 06 节要说的事。
验一遍 Jensen 不等式取分布 $X \in {100, 10}$ 各半， $E [X] = 55$ 。对 $x$ ： $E [X] = 0.5 100 + 0.5 10 = 5 + 1.5811 = 6.5811$ ，而 $E [X] = 55 = 7.4162$ 。所以 $E [u (X)] = 6.5811 < 7.4162 = u (E [X])$ ——不等式方向与课件 p12 的「风险厌恶 → $E u (X) < u (E [X])$ 」一致。

结论两件事要一起记住：结论是选 B（ $E u (B) = 6.8 > 4.84 = E u (A)$ ），前提是这个结论依赖于 $u$ 的选取。把 $u$ 换成 $x^{2}$ 就反转成选 A，换成线性就变成无差异。所以「B 更好」不是从期望收益相同里推出来的，而是从「我是风险厌恶者（ $u^{''} < 0$ ）」这个偏好加上「B 更分散」这个事实推出来的。答题时如果只写结论不写前提，就等于把一个主观偏好当成了客观定理。

平行练习

项目 A 不变：成功 100（48.4%），失败 0（51.6%）
新项目 B'：成功 90（50%），失败 25（50%）
$u (x) = x$

答案：第一步，期望收益： $E [R_{A}] = 100 \times 0.484 = 48.4$ ； $E [R_{B^{'}}] = 90 \times 0.5 + 25 \times 0.5 = 45 + 12.5 = 57.5$ 。这次两者期望不同——$B'$ 的期望更高（57.5 > 48.4）。第二步，期望效用： $E u (A) = 4.84$ （同前）； $E u (B^{'}) = 0.5 90 + 0.5 25 = 0.5 \times 9.4868 + 0.5 \times 5 = 4.7434 + 2.5 = 7.2434$ 。第三步，判断： $E u (B^{'}) = 7.2434 > 4.84 = E u (A)$ ，仍然选 $B'$。 这次结论的来源变了：原例里两个项目期望相同，所以选择纯粹来自风险形态（这是它作为教学例的价值所在）；而这里期望本来就不同（57.5 > 48.4），$B'$ 在均值和风险两个维度上都更优，所以无论你是风险厌恶、风险中性还是风险偏好，都会选它。换句话说——一个同时在均值与风险上占优的项目，它的胜出不依赖偏好假设。这提示了一个做题习惯：先用期望收益筛掉被支配选项（mean-variance 意义上的完全劣势），剩下的才是真正需要偏好假设才能分辨的。

常见误区

公平博弈（期望为零）没人会玩，所以风险厌恶是偏好而非约束。
公平博弈无人接受正是风险厌恶的表述形式，不是对它的反驳。这两件事是同一个命题。
为什么：课件 p11 把「风险厌恶」直接定义为 $U (1) > \frac{1}{2} U (2) + \frac{1}{2} U (0)$ ——拒绝期望为零的赌博。所以「无人玩公平博弈」不是需要另行解释的现象，它就是风险厌恶本身。混淆两者会导致答题时把结论当论据用。要注意实务里的例外：某些风险有非金钱收益（赌博的娱乐价值、彩票的梦想），此时即使期望为零也有人玩——但那说明效用函数里包含非财富的成分，不是风险厌恶假设失效。
$U (1) > \frac{1}{2} U (2) + \frac{1}{2} U (0)$ 与 $U (1) - U (0) > U (2) - U (1)$ 是两个不同的条件。
两者完全等价，都出自课件 p11，右侧是左侧的代数变形。
为什么：从左侧出发： $U (1) > \frac{1}{2} (U (2) + U (0))$ ，两边同减 $\frac{1}{2} U (0)$ 、同加 $\frac{1}{2} U (1)$ ，整理即得右侧。两个写法的教学价值不同：左侧是「期望效用 vs 效用」的形式，直接对应 $E u (X)$ 的语言；右侧是「边际效用递减」的形式，直接对应 $u^{''} < 0$ 的语言。考试时写哪个都行，但要能说明它们说的是同一件事。

本节自测 · 正确选项以 ✓ 标出

1. 一个赌博的期望收益为零（公平博弈）。风险厌恶者的反应是什么？这与「边际效用递减」是什么关系？

会接受，因为期望为零说明不亏不赚
会拒绝；这与边际效用递减是同一件事的两种说法，因为拒绝公平博弈正是 $u^{''} < 0$ 的定义式
取决于赌注大小
会接受，但要求提高赔率

2. 若效用函数是凸的（ $u^{''} > 0$ ，风险偏好），上面那个公平博弈的判断会怎么变？

仍然拒绝
会接受，甚至主动寻找公平博弈
无法判断
变成掷骰子决定

三种风险态度与 Jensen 不等式

Three Attitudes toward Risk

凹凸性如何翻译成决策。这是本讲抽象程度最高但也最核心的一节。

定义课件 p12 用二阶导数把风险态度分成三类。判据只有一条：效用函数的曲率。

三种风险态度（课件 p12）

三种风险态度（课件 p12）
判据	风险厌恶 Risk averse	风险中性 Risk neutral	风险偏好 Risk loving
二阶导	$u^{''} (x) < 0$	$u^{''} (x) = 0$	$u^{''} (x) > 0$
函数形状	严格凹 concave	严格凸 convex	严格凸 convex
与 Jensen 不等式	$E u (X) < u (E [X])$	$E u (X) = u (E [X])$	$E u (X) > u (E [X])$
期望收益相同时	偏好风险更小的那个	无差异，两个都一样	偏好风险更大的那个
对公平博弈	拒绝	无差异（恰好等于）	接受
典型例子	$u (x) = ln x$	$u (x) = x$ 或 $u (x) = 3 x$	$u (x) = x^{2}$

要害判据只有一个：$u''$ 的符号。往后的每一个结论（风险溢价、可投资比例、均值-方差）都是这一行符号的后果。

u^{''} (x) < 0 ⟹ E [u (X)] < u (E [X])

课件 p13。对应 Jensen 不等式在凹函数上的方向。课件写的是严格不等号。

因果这三行不等式就是 Jensen 不等式在三种情形下的方向。课件 p13 紧接着给出它的决策含义：当两个项目期望收益相同时，风险厌恶者偏好风险更小的那个。

例 3：同一个分布，三种人

课件 p14 给出例 3：随机收益 $X$ 为 100（概率 50%）或 10（概率 50%）。三个行为人分别是 $u_{A} (x) = ln x$ （凹）、 $u_{B} (x) = 3 x$ （线性）、 $u_{C} (x) = x^{2}$ （凸）。课件要求讨论 $E u (X)$ 与 $u (E [X])$ 的关系。三人的计算已独立复算：

例 3 的完整计算（已独立复算，与课件 p12–14 的方向一致）

例 3 的完整计算（已独立复算，与课件 p12–14 的方向一致）
行为人	效用函数	$E u (X)$	$u (E [X])$	关系与结论
A	$u_{A} (x) = ln x$	$3.4539$	$4.0073$	$E u < u (E [X])$ → 风险厌恶
B	$u_{B} (x) = 3 x$	$165.0000$	$165.0000$	相等 → 风险中性
C	$u_{C} (x) = x^{2}$	$5050.0000$	$3025.0000$	$E u > u (E [X])$ → 风险偏好

结论同一分布 $E [X] = 55$ ，三种态度给出三种判断，而且都与 Jensen 不等式的预测方向一致。行为人 B 的结果尤其值得记住：线性效用下 $E [3 X] = 3 E [X] = 165$ 恒成立，所以风险中性者对任何分布都无所谓。这一条在第 10 节会派上用场——它正是均值-方差分析得以成立的前提。

例题精解先自己想一步，再展开对答案

例题 2 · 三种态度的完整验算（例 3）五步：情境 → 已知 → 推导 → 结论 → 平行练习

情境你是风险研究部的分析师，需要向客户解释「为什么三个看起来一样的人会对同一个投资组合做出完全不同的判断」。手上有一个分布：$X$ 在 100 与 10 之间各取一半，三位客户的行为人分别用 $u_{A} (x) = ln x$ 、 $u_{B} (x) = 3 x$ 、 $u_{C} (x) = x^{2}$ 。你要算出每个人的判断，并说明差异来自哪里。

已知条件

分布： $X = 100$ （概率 50%）， $X = 10$ （概率 50%）
$u_{A} (x) = ln x$ ， $u_{B} (x) = 3 x$ ， $u_{C} (x) = x^{2}$
需要比较： $E u (X) = E [u (X)]$ 与 $u (E [X])$

平行练习结构同上，只换数字——先自己做，再看答案

平行练习：把分布改成 $X = 60$ （概率 50%）、 $X = 50$ （概率 50%），三个行为人不变。现在用 Jensen 不等式判断（不必精算），并回答：这个新分布的方差很小，三个人会不会更接近一致？

新分布： $X = 60$ （50%）， $X = 50$ （50%）
效用函数仍是 $u_{A} = ln x$ 、 $u_{B} = 3 x$ 、 $u_{C} = x^{2}$
先算 $E[X]$ 与 $σ$

例题 2 · 三种态度的完整验算（例 3）

已知条件

分布： $X = 100$ （概率 50%）， $X = 10$ （概率 50%）
$u_{A} (x) = ln x$ ， $u_{B} (x) = 3 x$ ， $u_{C} (x) = x^{2}$
需要比较： $E u (X) = E [u (X)]$ 与 $u (E [X])$

逐步推导

先算期望收益 $E[X]$ $E [X] = 0.5 \times 100 + 0.5 \times 10 = 55$ 。三个人面对的是同一个 $E[X]$，所以差异不来自均值。
行为人 A： $ln x$ ，先验曲率再算 $u_{A}^{'} (x) = 1/ x > 0$ ， $u_{A}^{''} (x) = - 1/ x^{2} < 0$ → 凹，风险厌恶。 $E u_{A} (X) = 0.5 ln 100 + 0.5 ln 10 = 0.5 \times 4.6052 + 0.5 \times 2.3026 = 2.3026 + 1.1513 = 3.4539$ $u_{A} (E [X]) = ln 55 = 4.0073$ 所以 $E u_{A} (X) = 3.4539 < 4.0073 = u_{A} (E [X])$ ，与「凹 → $E u < u (E [X])$ 」一致。
行为人 B：$3x$，线性 $u_{B}^{'} (x) = 3 > 0$ ， $u_{B}^{''} (x) = 0$ → 线性，风险中性。 $E u_{B} (X) = 0.5 \times 300 + 0.5 \times 30 = 150 + 15 = 165$ $u_{B} (E [X]) = 3 \times 55 = 165$ 两者完全相等。这不是巧合：$u$ 线性时 $E [u (X)] = u (E [X])$ 对任何分布成立。
行为人 C： $x^{2}$ ，凸 $u_{C}^{'} (x) = 2 x > 0$ （对 $x > 0$ ）， $u_{C}^{''} (x) = 2 > 0$ → 凸，风险偏好。 $E u_{C} (X) = 0.5 \times 10 0^{2} + 0.5 \times 1 0^{2} = 5000 + 50 = 5050$ $u_{C} (E [X]) = 5 5^{2} = 3025$ 所以 $E u_{C} (X) = 5050 > 3025 = u_{C} (E [X])$ ，方向与 A 相反。
把三行并起来读同一个 $E [X] = 55$ ，同一个方差 $σ^{2} = 0.5 (100 - 55)^{2} + 0.5 (10 - 55)^{2} = 0.5 \times 2025 + 0.5 \times 2025 = 2025$ （标准差 45）。三个行为人的判断：A 认为风险是代价（ $E u < u (E [X])$ ）、B 认为风险无所谓、C 认为风险是收益（ $E u > u (E [X])$ ）。差异的唯一来源是 $u''$ 的符号。

结论这道题的值��在于它证明了本讲的一个核心事实：决策结果不是分布的客观属性，而是分布与偏好共同决定的。同一笔投资，三个人给出三种不同判断，而且每一种在数学上都「正确」——因为他们优化的目标不同。实务含义是：给客户做资产配置时，先问清他的效用形状（或风险厌恶系数），比讨论预期收益率更重要；否则给出的建议只是把你自己的 $u''$ 当成了他的。这也为第 09 节的 RRA 埋下伏笔——正因为偏好因人而异，才需要一个能把「偏好」压缩成一个数的指标。

平行练习

新分布： $X = 60$ （50%）， $X = 50$ （50%）
效用函数仍是 $u_{A} = ln x$ 、 $u_{B} = 3 x$ 、 $u_{C} = x^{2}$
先算 $E[X]$ 与 $σ$

答案：第一步， $E [X] = 0.5 \times 60 + 0.5 \times 50 = 55$ （与原分布相同）。 $σ^{2} = 0.5 (60 - 55)^{2} + 0.5 (50 - 55)^{2} = 0.5 \times 25 + 0.5 \times 25 = 25$ ，标准差 5（原分布是 45）。第二步，用 Jensen 方向判断：A（凹）→ $E u_{A} < u_{A} (E [X])$ ；B（线性）→ 相等；C（凸）→ $E u_{C} > u_{C} (E [X])$ 。方向与原分布完全相同。第三步，回答「会不会更接近」：方向不变，但差距显著缩小。因为 Jensen 不等式的严格性来自曲率乘以方差，近似地 $E [u (X)] - u (E [X]) \approx \frac{1}{2} u^{''} (E [X]) σ^{2}$ 。方差从 2025 降到 25，缩小 81 倍，所以每个不等的幅度也跟着缩小约 81 倍。A 的 $E u - u (E [X])$ 从 $3.4539 - 4.0073 = - 0.5534$ 变成约 $- 0.0041$ （手算验证： $0.5 ln 60 + 0.5 ln 50 = 0.5 \times 4.0943 + 0.5 \times 3.9120 = 2.0472 + 1.9560 = 4.0032$ ，而 $ln 55 = 4.0073$ ，差 $- 0.0041$ ）；C 从 $5050 - 3025 = + 2025$ 变成 $+ 25$ （ $0.5 \times 3600 + 0.5 \times 2500 = 1800 + 1250 = 3050$ ， $5 5^{2} = 3025$ ，差 $+ 25$ ）；B 始终精确为 $165 = 165$ 。要点：Jensen 不等式的方向只由曲率决定，与方差大小无关；但严格程度由「曲率 × 方差」共同决定。所以「分布接近确定时三种态度趋于一致」这件事，根源是方差趋零，而不是曲率趋零。

常见误区

风险厌恶说的是「不喜欢风险」，所以 $u^{''} \leq 0$ 就够了。
严格区分： $u^{''} < 0$ 是严格凹，对应「严格风险厌恶」； $u^{''} = 0$ 是风险中性。写成 $\leq$ 会把中性混进厌恶里。
为什么：课件 p12 用了三行分列： $u^{''} < 0$ / $u^{''} = 0$ / $u^{''} > 0$ ，三种态度泾渭分明。 $u^{''} \leq 0$ 会让 $u^{''} = 0$ 的线性效用（最常见的基准情形）被误归为风险厌恶，答题时「无差异」这一档就没了对应。注意课件 p13 写的是严格不等号 $E u (X) < u (E [X])$ ——只有在 $u^{''} < 0$ 严格成立时才成立；若只有 $\leq$ ，只能得到 $\leq$ 。
Jensen 不等式说明「 $E [u (X)] < u (E [X])$ 」，所以期望效用总是小于效用的期望。
方向完全依赖于 $u$ 是凹还是凸。三种态度的 Jensen 方向是三个不同方向，不是同一个。
为什么：这是本节最容易被记反的地方。 $E [u (X)] < u (E [X])$ 只在 $u$ 凹（风险厌恶）时成立。若 $u$ 凸（风险偏好），方向反过来： $E [u (X)] > u (E [X)]$ （例 3 的 C 就是这样：5050 > 3025）。线性时两者相等（B：165 = 165）。记 Jensen 时必须连着「凹」一起记，否则一旦题目换成风险偏好者就会用反。
既然风险中性者对任何分布都无所谓，那么风险溢价对他也是零。
对。风险溢价确实为 0，但原因是他的效用是线性的、 $E u (X) = u (E [X])$ 导致 $C E = E [X]$ ，而不是「风险不存在」。
为什么：第 07 节会算：风险溢价 $r = E [X] - C E$ 。对线性效用， $u (E [X]) = E [u (X)]$ 恒成立，所以 $CE$ 就是 $E[X]$， $r = 0$ 。这是对风险中立者的正确刻画——他不是不在乎风险，而是在期望与确定收益之间没有偏好差异。这个观察有一个重要推论：均值-方差分析（第 10 节）对风险中性者是恒成立的，对风险厌恶者才需要近似——因为只有前者才能让 $Eu$ 恰好等于「期望减半方差」。

本节自测 · 正确选项以 ✓ 标出

1. 同一分布 $X \in {100, 10}$ 各半，三个人的判断分别是： $u_{A} = ln x$ 得 $E u = 3.4539$ 、 $u (E [X]) = 4.0073$ ； $u_{B} = 3 x$ 两者都是 165； $u_{C} = x^{2}$ 得 $5050$ 与 $3025$。哪个结论是正确的？

A 是风险中性，因为 $E u < u (E [X])$
B 是风险中性，两数相等正是线性效用的特征；A 是风险厌恶，C 是风险偏好
C 计算错误，因为 $Eu$ 不可能大于 $u (E [X])$
三人的结论无法比较

2. 「当两个项目期望收益相同时，风险厌恶者偏好风险更小的那个」——这句话在 CAPM 里是什么地位？在本讲里又是什么地位？

在两处都是基本的公理假设
在 CAPM 里是公理假设；在本讲里可由 $u^{''} < 0$ 通过 Jensen 不等式推出
在 CAPM 里可推出，在本讲里是公理
两处都只是直觉，不具有理论地位

Risk Premium and Measures of Risk Aversion

风险溢价与风险度量

把「我为免风险少拿多少」写成数（风险溢价），再把「我有多怕」写成可计算的指标（ARA/RRA）。

确定性等价与风险溢价

Certainty Equivalent and Risk Premium

把「我愿意为免风险少拿多少」写成一个数。这是本讲第一个可计算的决策量。

定义课件 p15 给出两个定义。确定性等价（certainty equivalent, CE）是与某个随机收益等价的确定收益：它的效用等于随机收益的期望效用。

u (C E) = E [u (X)]

课件 p15。CE 的定义式——效用相等，不是金额相等。

定义风险溢价（risk premium）$r$ 是行为人为了换取一个确定结果而愿意放弃的金额，即期望收益与确定性等价之差。

r = E [X] - C E

课件 p15。对风险厌恶者恒有

r > 0

；对风险中性者

r = 0

。

结论风险溢价是本讲第一个可算的决策量。但它有一个局限：$r$ 依赖于具体的分布形状与具体的 $u$，无法在不同人之间比较（风险大的人 $r$ 大，可能只是他更讨厌风险，不一定更懂风险）。要跨人比较「风险厌恶程度」，需要一个只依赖 $u$ 形状的指标——这就是下一节 ARA/RRA 的动机。

常见误区

风险溢价就是期望收益减去无风险利率。
那是 CAPM 里的市场风险溢价（一个市场的统计量）。本讲的 $r = E [X] - C E$ 是个体对特定风险的主观补偿，两者不是同一个概念。
为什么：本讲的 $r$ 完全由个人的效用函数和该资产的分布决定，同一个资产对不同人算出不同的 $r$。而 CAPM 的市场风险溢价 $E [R_{m}] - r_{f}$ 是一个市场整体的数字，来自对未来收益的预测。两者数值上没有对应关系。混淆会导致答题时把个体风险厌恶和市场定价混为一谈——前者是偏好，后者是均衡结果。

本节自测 · 正确选项以 ✓ 标出

1. 确定性等价 CE 的定义式是什么？为什么它不等于 $E[X]$？

$C E = E [X]$ ，因为都是平均值
$u (C E) = E [u (X)]$ ；它不等于 $E[X]$ 是因为凹效用把随机性打了折（Jensen 不等式）
$C E = E [X]$
$C E = E [X] - r_{f}$

例 4：算一遍 CE 与风险溢价

Example 4: Computing CE and the Risk Premium

一道四问的计算题：$E[X]$、$Eu$、$CE$、$r$，四个答案全部可复算。这是本讲最实用的一节。

定义课件 p16 给出例 4：财富 $X$ 的分布是 $X = 10$ （概率 60%）或 $X = 1$ （概率 40%），行为人的效用函数为 $u (X) = ln X$ 。课件连问四问： $E [X] = ?$ 、 $E u (X) = ?$ 、 $C E = ?$ 、 $r = ?$ 。课件只给条件，答案是要自己算的——下面全部独立复算。

E [X] = 0.6 \times 10 + 0.4 \times 1 = 6.4

第一问：期望收益。

E [u (X)] = 0.6 ln 10 + 0.4 ln 1 = 0.6 \times 2.3026 + 0.4 \times 0 = 1.3816

第二问：期望效用。注意

ln 1 = 0

，那一项贡献为零——这正是「40% 概率只有 1 单位财富」的痛点。

C E : u (C E) = 1.3816 ⟹ C E = e^{1.3816} = 3.9811

第三问：确定性等价。因为 $u$ 是对数，

u (C E) = ln C E

，所以要取指数还原。

r = E [X] - C E = 6.4 - 3.9811 = 2.4189

第四问：风险溢价。约为 2.42，占期望收益的近四成——这个比例相当高，说明

ln

效用对「有一半可能几乎归零」的惩罚很重。

例题精解先自己想一步，再展开对答案

例题 3 · 例 4 的四问复算（对数效用）五步：情境 → 已知 → 推导 → 结论 → 平行练习

情境你手上有一笔投资：60% 的概率拿 10 单位财富，40% 的概率拿 1 单位财富。你的效用是 $u (x) = ln x$ 。你需要在两个可比的项目之间决策（比如是否接受这个风险以换取更高的绝对财富）。你要算出四个关键量：期望收益、期望效用、确定性等价、风险溢价。这四个数共同回答了「这笔投资对你而言值不值」。

已知条件

分布： $X = 10$ （概率 60%）， $X = 1$ （概率 40%）
效用函数： $u (x) = ln x$
四问：$E[X]$、 $E u (X)$ 、$CE$、$r$

平行练习结构同上，只换数字——先自己做，再看答案

平行练习：把分布改成 $X = 10$ （50%）、 $X = 8$ （50%），仍用 $u (x) = ln x$ 。重新算四个数，并对比风险溢价的变化，解释「波动变小」如何体现在 $r$ 上。

新分布： $X = 10$ （50%）， $X = 8$ （50%）
$u (x) = ln x$ （不变）
对比原分布（60/40，10 vs 1）の $r = 2.42$

例题 3 · 例 4 的四问复算（对数效用）

已知条件

分布： $X = 10$ （概率 60%）， $X = 1$ （概率 40%）
效用函数： $u (x) = ln x$
四问：$E[X]$、 $E u (X)$ 、$CE$、$r$

逐步推导

第一问：期望收益 $E[X]$ $E [X] = 0.6 \times 10 + 0.4 \times 1 = 6 + 0.4 = 6.4$ 。这是「平均而言你能拿到多少」。
第二问：期望效用 $E u (X) = E [ln X]$ 逐态算： $ln 10 = 2.3026$ ， $ln 1 = 0$ 。 $E u (X) = 0.6 \times 2.3026 + 0.4 \times 0 = 1.3816 + 0 = 1.3816$ 。注意 $ln 1 = 0$ ——那 40% 的「差一点就归零」情形在效用层面完全没有贡献，这就是风险的痛。
第三问：确定性等价 $CE$由定义 $u (C E) = E [u (X)]$ ，即 $ln C E = 1.3816$ 。取指数： $C E = e^{1.3816} = 3.9811$ 。所以在你心里，这个风险项目的「确定等价物」大约是 3.98 单位——远低于期望收益 6.4。
第四问：风险溢价 $r$ $r = E [X] - C E = 6.4 - 3.9811 = 2.4189$ 。换句话说：为了让你接受这个风险、承担 40% 几乎归零的可能，你至少要少拿 2.42 单位的期望收益才划算。
整体解读：这四个数在说什么 $E [X] = 6.4$ （客观平均）→ $E u = 1.3816$ （主观评价，低于 $ln 6.4 = 1.8563$ ）→ $C E = 3.98$ （等价的确定收益，低于 6.4）→ $r = 2.42$ （你的「风险折价」）。风险溢价相对期望收益高达 37.8%，因为 $u = ln x$ 在低财富区惩罚很重（ $x = 1$ 附近 $ln$ 斜率陡）。

结论这四个数必须能独立算出来，因为它们是本讲后面所有内容的零件：$CE$ 与 $r$ 是第 11 节均值-方差判据的直接输入；「风险溢价随绝对风险厌恶度上升而变大」这个规律，依赖的正是 $u$ 的形状。最重要的认知：$r$ 不是资产本身的客观属性，而是「资产 × 效用」的联合产物。同一个投资，对风险厌恶程度不同的人，$r$ 不同。这为下一节「用 RRA 把偏好压缩成一个数」埋下伏笔。

平行练习

新分布： $X = 10$ （50%）， $X = 8$ （50%）
$u (x) = ln x$ （不变）
对比原分布（60/40，10 vs 1）の $r = 2.42$

答案： $E [X] = 0.5 \times 10 + 0.5 \times 8 = 5 + 4 = 9$ 。 $E u (X) = 0.5 ln 10 + 0.5 ln 8 = 0.5 \times 2.3026 + 0.5 \times 2.0794 = 1.1513 + 1.0397 = 2.1910$ 。 $C E = e^{2.1910} = 8.9442$ 。 $r = 9 - 8.9442 = 0.0558$ 。对比：原分布 $r = 2.42$ （占 $E[X]$ 的 37.8%），新分布 $r = 0.056$ （占 $E[X]$ 的 0.62%）。风险溢价从 2.42 降到 0.056，缩小了约 43 倍。解释：两个分布的期望不同（6.4 vs 9），不能直接比 $r$ 的绝对值。但风险溢价的相对占比从 37.8% 降到 0.62%，清楚地反映了「波动变小 → 风险折价变小」。原因在于 $ln$ 的凹性使得 Jensen 差距 $u (E [X]) - E [u (X)]$ （正是 $r$ 的对数版来源）在分布更集中时更小。原分布跨得极宽（10 vs 1），新分布几乎重合（10 vs 8），所以后者的风险折价几乎消失。这个对比说明：风险溢价的大小，本质上衡量的是分布的离散程度在给定效用下的敏感度。

风险厌恶的度量：ARA 与 RRA

Measures of Risk Aversion: ARA and RRA

把「我有多怕风险」变成一个可计算的数。这是本讲最有工具价值的两节内容。

定义课件 p17 提出问题：随着财富增加，行为人会增加还是减少对风险资产的投资？为了回答，需要一个度量「风险厌恶有多强」的指标。课件给出绝对风险厌恶度（Absolute Risk Aversion, ARA）：它由效用函数的曲率决定，曲率越大，绝对风险厌恶程度越高。

A R A (x) = - \frac{u ^{''} ( x )}{u ^{'} ( x )}

课件 p17。分子是曲率（凹性），分母是斜率（递增性）。两者相除得到「每单位财富对应的风险规避强度」。

定义课件 p18 指出，绝对风险厌恶度可能随财富水平变化，据此把效用函数分为三类（课程用 DARA/CARA/IARA 缩写）。

按绝对风险厌恶度随财富的变化分类（课件 p18）

按绝对风险厌恶度随财富的变化分类（课件 p18）
分类	全称	随财富增加的行为	直觉
DARA	Decreasing ARA（绝对风险厌恶递减）	ARA 随财富增大而下降	越有钱越不怕风险（少数人钱多后反而愿冒险）
CARA	Constant ARA（绝对风险厌恶不变）	ARA 恒定	无论多富，风险厌恶强度一样
IARA	Increasing ARA（绝对风险厌恶递增）	ARA 随财富增大而上升	越有钱越保守（怕损失已有财富）

例 5：两个经典效用函数属于哪一类

课件 p19 给出两个函数并要求分析它们的 ARA 性质。课件 p21 给出结论：两者都是 DARA + CRRA。下面独立复算确认。

u (x) = ln x : A R A = - \frac{u ^{''}}{u ^{'}} = - \frac{- 1/ x ^{2}}{1/ x} = \frac{1}{x}

对数效用：

A R A = 1/ x

，随 $x$ 增大而减小 → DARA。已独立复算。

u (x) = \frac{x ^{1 - c}}{1 - c} : A R A = - \frac{u ^{''}}{u ^{'}} = - \frac{- c x ^{- c - 1}}{x ^{- c}} = \frac{c}{x}

幂效用（

c > 0

）：

A R A = c / x

，同样随 $x$ 增大而减小 → DARA。已独立复算。

c = 1

是它的极限，恰为

ln x

。

因果课件 p20 转向相对风险厌恶度（Relative Risk Aversion, RRA），它衡量的是财富的比例上的风险规避，因此与财富水平无关。

R R A (x) = x \cdot A R A (x) = - \frac{x u ^{''} ( x )}{u ^{'} ( x )}

课件 p20。

R R A = x \times A R A

——就是绝对风险厌恶乘以财富。乘 $x$ 的作用是把「绝对」变成「相对」。已独立复算。

相对风险厌恶的分类（课件 p20）与两个经典例子的归属（课件 p21）

相对风险厌恶的分类（课件 p20）与两个经典例子的归属（课件 p21）
分类	随财富增加	对数效用 $ln x$	幂效用 $x^{1 - c} / (1 - c)$
DRRA · Decreasing RRA（下降）	下降	$R R A = x \cdot \frac{1}{x} = 1$ 恒定 → CRRA	$R R A = x \cdot \frac{c}{x} = c$ 恒定 → CRRA
CRRA · Constant RRA（恒定）	恒定	（同上）	（同上）
IRRA · Increasing RRA（上升）	上升	—	—

要害 $R R A = c$ （幂效用）或 $= 1$ （对数）都与 $x$ 无关——这就是它们是 CRRA 的原因。RRA 恒定意味着「无论你多富，你对风险的相对厌恶程度都一样」，是金融学里最常用的一类假设。

例题精解先自己想一步，再展开对答案

例题 4 · ARA/RRA 计算与分类（对数与幂效用）五步：情境 → 已知 → 推导 → 结论 → 平行练习

情境你所在的财富管理团队要给客户做风险画像。客户甲的效用是 $u (x) = ln x$ ，客户乙的效用是幂效用 $u (x) = x^{1 - c} / (1 - c)$ （ $c = 2$ ）。你要为两人各算出 $ARA$ 与 $RRA$ 函数，判断其分类，并说明这两类信息如何指导实际的风险配置建议。

已知条件

客户甲： $u_{1} (x) = ln x$
客户乙： $u_{2} (x) = x^{1 - c} / (1 - c)$ ，取 $c = 2$ ，即 $u_{2} (x) = x^{- 1} / (- 1) = - 1/ x$
要算：$u'$, $u''$, $A R A = - u^{''} / u^{'}$ , $R R A = x \cdot A R A$
分类判据：ARA/RRA 随 $x$ 增大而减小→D，恒定→C，增大→I

平行练习结构同上，只换数字——先自己做，再看答案

平行练习：把客户乙换成二次效用 $u (x) = x - b x^{2}$ （取 $b = 0.5$ ），算 $ARA$、$RRA$，并判断它的绝对与相对风险厌恶分类。特别注意：它和前面两个函数的分类不一样。

$u (x) = x - b x^{2}$ ，取 $b = 0.5$ ，即 $u (x) = x - 0.5 x^{2}$
课件 p22 的有效域： $x < 1/ (2 b) = 1$
要算 $u'$, $u''$, $A R A = - u^{''} / u^{'}$ , $R R A = x \cdot A R A$

例题 4 · ARA/RRA 计算与分类（对数与幂效用）

已知条件

客户甲： $u_{1} (x) = ln x$
客户乙： $u_{2} (x) = x^{1 - c} / (1 - c)$ ，取 $c = 2$ ，即 $u_{2} (x) = x^{- 1} / (- 1) = - 1/ x$
要算：$u'$, $u''$, $A R A = - u^{''} / u^{'}$ , $R R A = x \cdot A R A$
分类判据：ARA/RRA 随 $x$ 增大而减小→D，恒定→C，增大→I

逐步推导

客户甲： $ln x$ $u_{1}^{'} (x) = 1/ x$ ， $u_{1}^{''} (x) = - 1/ x^{2}$ 。 $A R A_{1} = - u_{1}^{''} / u_{1}^{'} = - (- 1/ x^{2}) / (1/ x) = 1/ x$ 。随 $x$ 增大而减小 → DARA。 $R R A_{1} = x \cdot A R A_{1} = x \cdot (1/ x) = 1$ 。恒定 → CRRA。（这正是课件 p21 的结论。）
客户乙：幂效用 $c = 2$ ，即 $u_{2} (x) = - 1/ x$ 验证 $c = 2$ 的通用结论： $u_{2} (x) = x^{1 - 2} / (1 - 2) = x^{- 1} / (- 1) = - 1/ x$ 。 $u_{2}^{'} (x) = 1/ x^{2} > 0$ ， $u_{2}^{''} (x) = - 2/ x^{3} < 0$ 。 $A R A_{2} = - u_{2}^{''} / u_{2}^{'} = - (- 2/ x^{3}) / (1/ x^{2}) = (2/ x^{3}) \cdot x^{2} = 2/ x$ 。随 $x$ 增大而减小 → DARA。 $R R A_{2} = x \cdot A R A_{2} = x \cdot (2/ x) = 2$ 。恒定 → CRRA。（与通用公式 $A R A = c / x$ 、 $R R A = c$ 一致： $c = 2$ 时 $A R A = 2/ x$ 、 $R R A = 2$ 。）
比较两个客户两人都是 DARA + CRRA（同形）。区别在程度：乙的 $R R A = 2$ ，甲的 $R R A = 1$ 。RRA 越大表示对风险的相对规避越强，所以乙比甲更保守。在具体财富 $x = 10$ 处： $A R A_{1} = 1/10 = 0.1$ ， $A R A_{2} = 2/10 = 0.2$ ，乙的绝对风险厌恶也是甲的两倍。
配置建议的含义$RRA$ 是「无论多富都恒定」的相对风险规避强度，它直接决定最优风险资产比例。RRA 更大的乙应配置更低的风险资产比例。同时两人都是 DARA，意味着随着财富增长他们��绝对风险厌恶都会下降——理论上他们会增加风险资产比例。这个「DARA ⇒ 越有钱越敢冒险」是本节一个反直觉但重要的结论。

结论本题的核心是掌握 $A R A = - u^{''} / u^{'}$ 与 $R R A = x \cdot A R A$ 这两个公式的计算，并理解「同一个函数在两种尺度下可以给出不同分类」。对数效用与幂效用的经典组合（都 DARA + CRRA）说明这不是巧合——它们的 $RRA$ 都恰好与 $x$ 无关。两个实用结论：（1）$RRA$ 的数值大小直接刻画风险厌恶的强度，可跨人比较；（2）「DARA ⇒ 越富越敢冒险」是本节最容易被忽略、也最值得记住的推论。

平行练习

$u (x) = x - b x^{2}$ ，取 $b = 0.5$ ，即 $u (x) = x - 0.5 x^{2}$
课件 p22 的有效域： $x < 1/ (2 b) = 1$
要算 $u'$, $u''$, $A R A = - u^{''} / u^{'}$ , $R R A = x \cdot A R A$

答案： $u (x) = x - 0.5 x^{2}$ 。 $u^{'} (x) = 1 - 2 b x = 1 - x$ （取 $b = 0.5$ ）。 $u^{''} (x) = - 2 b = - 1$ （常数，与 $x$ 无关）。 $A R A (x) = - u^{''} / u^{'} = - (- 1) / (1 - x) = 1/ (1 - x)$ 。在有效域 $x < 1$ 内，随 $x$ 增大 $1/ (1 - x)$ 增大 → $ARA$ 递增 → IARA！ $R R A (x) = x \cdot A R A = x / (1 - x)$ 。随 $x$ 增大也增大 → IRRA。 验证（数值）： $x = 0.1$ 时 $A R A = 1/0.9 = 1.111$ ； $x = 0.5$ 时 $A R A = 1/0.5 = 2.0$ ； $x = 0.9$ 时 $A R A = 1/0.1 = 10$ 。确实递增。 关键结论：二次效用的 $u''$ 是常数，但 $u'$ 随 $x$ 线性下降，所以 $A R A = - u^{''} / u^{'}$ 递增 → 它是 IARA（不是 DARA！）。这与对数效用（ $A R A = 1/ x$ 递减，DARA）方向相反。 这说明什么：$u''$ 恒定（曲率固定）不等于 $ARA$ 恒定——因为 $ARA$ 的分母 $u'$ 在变。这就是课件 p21 只讨论对数与幂效用（它们恰好 $RRA$ 恒定）时容易让人误以为「常用二次效用也是 CRRA」的地方。二次效用是 IARA + IRRA：越有钱，绝对与相对风险厌恶都越高（越保守）。

常见误区

ARA 和 RRA 是两个独立的风险厌恶指标，可以分别测。
它们由同一个 $u$ 决定，且 $R R A = x \times A R A$ ，不是独立测量的两个量。
为什么：因为 $R R A = - x u^{''} / u^{'}$ 而 $A R A = - u^{''} / u^{'}$ ，相乘一个 $x$ 而已。同一个效用函数的曲率信息，ARA 看的是「绝对尺度上的弯曲」，RRA 看的是「相对尺度上的弯曲」。正因为它们同源，一个函数可能 DARA 却 IRRA、或 ARA 递增却 RRA 递减——这不是矛盾，是两个尺度在打架。
幂效用 $c > 0$ 时可能是风险偏好，因为 $c$ 可以取任意正数。
在 $c > 0$ 内幂效用恒为风险厌恶（ $u^{''} = - c x^{- c - 1} < 0$ ），只有 $c < 0$ 才是风险偏好。
为什么：课件 p19 限定了 $c > 0$ ，在这个区间二阶导恒负。要表达风险偏好需放宽到 $c < 0$ （此时 $u^{''} > 0$ ，凸）。这个范围限定容易被忽略，导致答题时误以为「幂效用能覆盖三种态度」。笔记在正文中已补充说明。

本节自测 · 正确选项以 ✓ 标出

1. 对数效用 $u (x) = ln x$ 的绝对风险厌恶度 ARA 是多少？它属于 DARA、CARA 还是 IARA？

$A R A = x$ ，随财富增大而增大，IARA
$A R A = 1/ x$ ，随财富增大而减小，DARA
$A R A = 1$ ，恒定，CARA
$A R A = - 1/ x^{2}$ ，随财富增大而减小，DARA

2. 为什么课件说对数效用同时是 DARA 和 CRRA？

矛盾，课件写错了
因为 $A R A = 1/ x$ （递减，DARA），而 $R R A = x \times A R A = 1$ （恒定，CRRA）。两种尺度给出不同分类不矛盾
因为对数效用是唯一的特殊情况
DARA 和 CRRA 是同一个意思

Mean-Variance Analysis

均值-方差分析

二次效用把前四块全部压缩成两个数字：期望收益与标准差。这是最常用的简化，也是本讲的终点。

均值-方差分析：二次效用的代价与红利

Mean-Variance Analysis

把前四块压缩成两个数字：期望收益与标准差。这是最常用的简化，也是本讲的终点。

定义课件 p22 引入 二次效用函数（quadratic utility） $U (x) = x - b x^{2}$ （原式 $U (x) = - (b x^{2}) + x$ ， $b > 0$ ）。它的导数是：

U^{'} (x) = 1 - 2 b x (x < 1/ (2 b)), U^{''} (x) = - 2 b (b > 0)

课件 p22。$U''$ 是常数（不随财富变化），$U'$ 随财富线性下降。

课件 p23 给出均值-方差目标函数最常用的具体形式：

U = E [r_{P}] - \frac{A}{2} σ_{P}^{2}

课件 p23。$A$ 是风险厌恶参数。

E [r_{P}]

是期望收益，

σ_{P}^{2}

是方差。等价于「期望收益减去风险惩罚」。

结论把这一节收拢：二次效用 → 均值-方差是本讲所有内容的最终压缩。前九节的每一个概念（Eu、风险态度、CE、风险溢价、ARA/RRA）都是为了这一刻——把复杂的效用决策压缩成「期望收益减半 $A$ 倍方差」这一个可算的式子。它不精确（除二次效用与正态收益外只是近似），但它是金融学里最常用的工具，没有之一。

常见误区

二次效用的 $U^{''} = - 2 b$ 是常数，所以二次效用是 CARA（绝对风险厌恶不变）。
常数的是 $U''$（曲率），不是 $ARA$。 $A R A = - U^{''} / U^{'} = 2 b / (1 - 2 b x)$ 随财富递增，所以二次效用是 IARA + IRRA。
为什么：这是本节最隐蔽的错误。$ARA$ 的分母是 $u^{'} (x) = 1 - 2 b x$ ，它随财富线性下降到零，所以整个比值随财富上升。容易记错是因为直觉上「$u''$ 不变 → 风险态度不变」，但 $ARA$ 还额外包含了「斜率在变」这个因素。判断时永远记住 $A R A = - u^{''} / u^{'}$ 的分母在变，不能只看分子。
均值-方差分析假设收益率服从正态分布，所以没有分布假设。
三条正当性理由里 (b) 才是正态分布假设，(a) 是二次效用假设。正态只是其中一条路径，不是唯一要求。
为什么：课件 p23 列的三条：(a) EUH 下的二次效用、(b) 收益率正态、(c) 直接看合理。第 (c) 条「seems plausible」是实务理由，不是理论保证。也就是说均值-方差分析在没有正态、没有二次效用的情况下仍被广泛使用——因为它只要两个数、极其方便。这种「不完全精确但极其实用」是它统治金融学的真正原因，也是本讲想传达的务实态度。

本节自测 · 正确选项以 ✓ 标出

1. 均值-方差分析的目标函数 $U = E [r] - (A /2) σ^{2}$ 中，参数 $A$ 代表什么？

资产的波动率
风险厌恶参数，越大表示越厌恶风险、要求的风险惩罚越高
无风险利率
投资组合的期望收益

2. 课件说二次效用「leads to mean variance analysis being optimum」。这句话的准确含义是什么？

二次效用是所有投资者都实际使用的效用函数
若假设效用是二次的，那么用期望收益和方差两个数就足以精确刻画决策（不需近似）
二次效用的均值-方差分析一定比正态分布的方法更准确
均值-方差分析在正态分布下失效

例 6：均值-方差下的投资决策

Example 6: An Investment Decision

一道把风险厌恶参数变成「买或不买」的真实决策题。本节的课件有一处笔误，已标注。

定义课件 p25 给出例 6：一个投资组合的期望收益率是 22%，标准差 34%。市场上的无风险利率是 5%。现在有一位风险厌恶投资者，她的风险厌恶系数是 3。她会投资这个组合吗？课件 p25 还追加一问：如果她的风险厌恶系数下降到 2，她会投资吗？

U = E [r_{P}] - \frac{A}{2} σ_{P}^{2}

课件 p23 的均值-方差目标式。代入本题数据：

σ_{P} = 34% = 0.34

，方差

= 0.3 4^{2} = 0.1156

。

第一问： $A = 3$

U = 0.22 - \frac{3}{2} \times 0.3 4^{2} = 0.22 - 0.5 \times 3 \times 0.1156 = 0.0466 = 4.66%

课件 p26 给出的答案 4.66%，已独立复算，与课件一致。

第二问： $A = 2$

U = 0.22 - \frac{2}{2} \times 0.3 4^{2} = 0.22 - 1 \times 0.1156 = 0.1044 = 10.44%

正确答案是 10.44%（已独立复算）。课件 p26 此处写的是 11.56%，有误——详见下方 flag。

例题精解先自己想一步，再展开对答案

例题 5 · 找出门槛风险厌恶系数五步：情境 → 已知 → 推导 → 结论 → 平行练习

情境你是资产配置顾问。手上有一个高风险组合：期望收益率 22%，标准差 34%。你的客户们风险厌恶程度不同，无风险利率 5%。你要回答的不只是「A=3 买不买」，而是一个更有用的结论：在什么 A 值上这个组合才值得买？ 这个门槛值就是给客户分层配置依据。

已知条件

组合： $E [r_{P}] = 22% = 0.22$ ， $σ_{P} = 34% = 0.34$ （方差 $0.1156$）
无风险利率： $r_{f} = 5% = 0.05$
均值-方差式： $U = E [r_{P}] - (A /2) σ_{P}^{2}$
决策规则： $U > r_{f}$ 则买， $U < r_{f}$ 则不买

平行练习结构同上，只换数字——先自己做，再看答案

平行练习：把无风险利率改成 3%，其余不变（ $μ = 22%$ 、 $σ = 34%$ ）。重算门槛 $A^{*}$ ，并说明无风险利率上升（或下降）对门槛的影响方向。

$E [r_{P}] = 22% = 0.22$ ， $σ_{P}^{2} = 0.1156$
新无风险利率： $r_{f} = 3% = 0.03$
求：满足 $U = r_{f}$ 的 $A^{*}$

例题 5 · 找出门槛风险厌恶系数

已知条件

组合： $E [r_{P}] = 22% = 0.22$ ， $σ_{P} = 34% = 0.34$ （方差 $0.1156$）
无风险利率： $r_{f} = 5% = 0.05$
均值-方差式： $U = E [r_{P}] - (A /2) σ_{P}^{2}$
决策规则： $U > r_{f}$ 则买， $U < r_{f}$ 则不买

逐步推导

先确认两个给定量（方差要自己算） $σ_{P}^{2} = 0.3 4^{2} = 0.1156$ 。注意课件 p26 这一处把上标排版丢了写成「0.342」，一定要按 $0.3 4^{2}$ 算，别当成 0.342（那是错的，会让风险惩罚被放大 3 倍）。
把决策条件写成不等式买： $U > r_{f}$ ，即 $0.22 - \frac{A}{2} \times 0.1156 > 0.05$ 。整理： $\frac{A}{2} \times 0.1156 < 0.22 - 0.05 = 0.17$ $\frac{A}{2} < 0.17/0.1156 = 1.4706$ $A < 2.941$ 所以门槛是 $A^{*} \approx 2.94$ ：$A$ 小于它就买，大于它就不买。
验证两问的答案都在门槛的正确一侧 $A = 3 > 2.94$ → 不买。课件算出 $U = 4.66% < 5%$ ✓ 一致。 $A = 2 < 2.94$ → 买。 $U = 10.44% > 5%$ ✓ 一致（课件写 11.56% 是笔误，见正文 flag）。注意 $A = 2$ 离门槛（2.94）比较远，所以即使数字算错了也不影响结论；而 $A = 3$ 只比门槛高 0.06，这时候精度就很关键了。
把门槛换算成客户语言 $A^{*} \approx 2.94$ 是分界线：RRA 低于 2.94 的客户适合持有这个组合，高于 2.94 的不适合。对照第 9 节：对数效用 $R R A = 1$ 、幂效用 $c = 2$ 时 $R R A = 2$ ——两者都低于门槛，所以按标准风险厌恶假设，这个组合其实是可以买的。只有当客户的 $RRA$ 超过 2.94（比较极端保守）时才该拒绝。这就是例 6 想传达的实务判断：高风险不等于不能买，取决于客户的风险厌恶程度。

结论这道题的价值在于把「风险厌恶」从一个抽象的曲率变成了一个可比较的门槛数值。三件事要记住：（1）方差要先自己算， $σ^{2} = 0.1156$ ；（2）决策判据是「$U$ 与无风险利率比」，不是「$U$ 与 0 比」；（3）$A$ 存在门槛 $A^{*} \approx 2.94$ ，跨过它决策就翻转。这解释了实务里「同一资产对不同客户是好是坏」的根本原因——差别在 $A$ 那一侧，不在资产本身。

平行练习

平行练习：把无风险利率改成 3%，其余不变（ $μ = 22%$ 、 $σ = 34%$ ）。重算门槛 $A^{*}$ ，并说明无风险利率上升（或下降）对门槛的影响方向。

$E [r_{P}] = 22% = 0.22$ ， $σ_{P}^{2} = 0.1156$
新无风险利率： $r_{f} = 3% = 0.03$
求：满足 $U = r_{f}$ 的 $A^{*}$

答案：解 $0.22 - \frac{A}{2} \times 0.1156 = 0.03$ ： $\frac{A}{2} \times 0.1156 = 0.22 - 0.03 = 0.19$ $\frac{A}{2} = 0.19/0.1156 = 1.6436$ $A^{*} = 3.287$ 对比： $r_{f} = 5%$ 时 $A^{*} \approx 2.94$ ； $r_{f} = 3%$ 时 $A^{*} \approx 3.29$ 。方向：无风险利率下降，门槛 $A^{*}$ 上升。含义是：保守的无风险资产变得更有吸引力了，所以客户要更极端厌恶风险才会愿意去买这个高波动组合。这是完全合理的行为——无风险利率下降时，所有风险资产的相对吸引力都下降，需要更强的风险偏好才能支撑。一般公式： $A^{*} = \frac{2 ( E [ r _{P} ] - r _{f} )}{σ _{P}^{2}}$ 。这个式子很有用：它把「风险溢价的半衰点」直接写出来了——$A$ 越大要求的风险溢价越高，而风险溢价恰好是 $E [r_{P}] - r_{f}$ 。所以 $A^{*}$ 的本质就是「要多大 $A$ 才愿意接受这个风险溢价」的临界值。

常见误区

课件 p26 第二问算得 11.56%，说明 $A = 2$ 时的效用更高、更有吸引力。
正确结果是 10.44%（ $U = 0.22 - 1 \times 0.1156 = 0.1044$ ）。课件该处数字有误。
为什么：课件 p26 写的是 $U = 0.22 - 0.5 \times 2 \times 0.342 = 11.56%$ 。两处问题：方差应是 $0.3 4^{2} = 0.1156$ （不是 0.342，上标排版丢失了），而且 $0.5 \times 2 = 1$ 所以整项是 $0.1156$。独立复算得 $U = 0.1044 = 10.44%$ 。但结论方向不变： $10.44% > 5%$ 与 $11.56% > 5%$ 都得出「接受」。所以第一问的 $A = 3$ → 4.66% 是对的，只有第二问的数字需要修正。这也提醒：读课件算例时，方差一定要自己先算一遍 $0.3 4^{2}$ ，别被上标丢失的数字误导。

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1. 例 6 中投资组合的 $μ = 22%$ 、 $σ = 34%$ 、 $r_{f} = 5%$ 。当风险厌恶系数 $A$ 为多少时，决策从「买」翻转为「不买」？

$A = 2$
$A = 3$
$A^{*} = \frac{2 ( E [ r _{P} ] - r _{f} )}{σ _{P}^{2}} = \frac{2 \times 0.17}{0.1156} \approx 2.94$
$A$ 无论多少都不影响决策

2. 课件 p26 第二问（ $A = 2$ ）算出 11.56%，独立复算得 10.44%。这个差异说明什么？

课件整页都不可信
只有这一处数字有误，但结论方向不变（都大于无风险利率 5%，都接受）
10.44% 是错的，应该是 11.56%
无风险利率应该是 10.44%

无差异曲线与实证证据

Indifference Curves and Empirical Evidence

本讲的收尾：把均值-方差画成图（p24），再看这整套假设有没有证据支持（p27）。

p24 的无差异曲线

课件 p24 给出 $(μ_{P}, σ_{P})$ 空间里的无差异曲线。它要传达的意思是：在均值-方差框架下，投资者对「期望收益与标准差」的组合有一个偏好排序，同一条曲线上的点给出相同的效用。下面这张图按课件 p23 的目标函数 $U = μ_{P} - (A /2) σ_{P}^{2}$ 用真实公式重绘——不是凭空画的形状。

U₀ = 4.66%, A = 3（较保守）U₀ = 10.44%, A = 2（较激进）

课件 p24 示意；曲线形状由课件 p23 的均值-方差式

U = μ_{P} - \frac{A}{2} σ_{P}^{2}

精确解出这是全讲唯一的图，也是把前十一节收成一张图的地方：横轴是标准差（风险）、纵轴是期望收益，每条曲线上的点给出相同效用。读图要点有三条——曲线向上倾斜（要更多风险补偿）、凸向下（凸性来自二次效用的曲率）、且越往左上方效用越高（课件 p24 标了两个「Utility increases」箭头）。三条性质全部由 $U$ 的表达式推出，不是画出来的约定。

U = U_{0} ⟹ μ_{P} = U_{0} + \frac{A}{2} σ_{P}^{2}

把均值-方差式对

μ_{P}

解出来就是无差异曲线的一般形式。这条二次曲线正是 p24 那张图的精确数学定义，可自行代入

U_{0}

与 $A$ 复算任意一点的坐标。

p27：实证证据

定义课件 p27 最后列出两条实证结论，注意它们的强弱不同。

「投资者偏好多而非少」（prefers more to less）的假设与实证证据一致。这对应 $u^{'} (x) > 0$ ——注意这条的证据是直接的。
「风险厌恶的假设也与实证证据大体一致」。对应 $u^{''} (x) < 0$ 。课件措辞是 generally consistent，比第一条弱。

课件接着提到关于 ARA 与 RRA 的实证研究，并举了两个具体结果：

课件 p27 引用的两项实证研究

课件 p27 引用的两项实证研究
研究	发现	对模型的含义
Blume and Friend	投资于风险资产的比例基本保持不变（virtually unchanged）	与 CRRA 假设一致——风险厌恶的相对程度不随财富变化
Cohn 等人	投资者表现出递减的相对风险厌恶（decreasing relative risk aversion）	与 DRRA 一致——相对风险厌恶随财富递减

要害两条实证都不是在测「风险厌恶存不存在」（那个早已被普遍接受），而是在测相对风险厌恶随财富怎么变——因为这个问题的答案决定了均值-方差分析能不能用二次效用近似。

结论本讲到此结束。回头看整条链：期望收益不够用（第 01–02 节）→ 用期望效用（第 03 节， $E u = \sum P r {x} u (x)$ ）→ 态度由曲率决定（第 05–06 节， $u^{''} < 0$ 是风险厌恶）→ 风险可定价（第 07 节， $r = E [X] - C E$ ）→ 厌恶可度量（第 08–09 节，ARA 与 RRA）→ 压缩成两数（第 10–11 节， $U = E [r] - \frac{A}{2} σ^{2}$ ）→ 画成一张图并接受实证检验（第 12 节）。每一环都依赖前一环，这是本讲唯一需要记住的骨架。

常见误区

CAPM 的无差异曲线和均值-方差分析的无差异曲线是同一条直线。
CAPM 是直线，均值-方差分析是凸的二次曲线（当 $σ$ 较大时两者明显分开）。
为什么：CAPM 假定风险厌恶度是常数、风险与收益线性权衡，所以 $E [R_{P}] = r_{f} + \frac{E [ R _{M} ] - r _{f}}{σ _{M}^{2}} σ_{P}$ 是直线。本讲的 $U = μ_{P} - (A /2) σ_{P}^{2}$ 对 $μ_{P}$ 解出 $μ_{P} = U_{0} + \frac{A}{2} σ_{P}^{2}$ ，是二次曲线（曲率 $= A > 0$ ）。在 $σ$ 接近零时两者斜率相近、几乎重合；但 $σ$ 大时凸曲线的风险惩罚更重。这是 CAPM 与均值-方差分析之间一个真实且容易忽略的区别。
无差异曲线的形状是画图时约定的。
曲线的形状由 $U$ 的表达式算出——向上倾斜、凸向下、向左上效用递增，三条都是求导得到的结论。
为什么：把 $U = μ_{P} - (A /2) σ_{P}^{2}$ 对 $μ_{P}$ 解出无差异曲线 $μ_{P} = U_{0} + \frac{A}{2} σ_{P}^{2}$ ，然后求导：斜率 $\frac{\partial μ _{P}}{\partial σ _{P}} = A σ_{P} > 0$ （向上倾斜），二阶导 $\frac{d ^{2} μ _{P}}{d σ _{P}^{2}} = A > 0$ （凸向下）。这个正的曲率正是二次效用的曲率，也是均值-方差分析「足够好」的几何原因（无差异曲线凸时用期望效用的线性近似才合理）。所以 p24 那张图虽是位图，但形状是可以用公式验证的——笔记里的重绘版正是按这个公式画的。

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1. p24 的无差异曲线在 $(μ_{P}, σ_{P})$ 空间里向上倾斜且凸向下。这两个性质分别来自什么？

都只是画图约定
向上倾斜来自「要更多风险必须给更多补偿」，凸向下来自二次效用的曲率 $d^{2} μ / d σ^{2} = A > 0$ ，两条都是求导得到的
向上倾斜来自正态分布，凸向下来自 Jensen 不等式
都来自实证证据

词条

英文专业名词 · 直觉解释对照

建议把英文、教材定义和直觉解释一起记。直觉解释用来建立第一印象，答题时仍用左边的规范表述。

共 29 条 · 分 5 组 · 支持别名检索（试搜「权益成本」「市值」「杠杆」）

检索

A. 不确定性下的决策5 条 · 另 1 条已折叠

A. 不确定性下的决策
English	中文	教材定义	直觉解释	相关
Uncertainty也作：不确定性	不确定性	课件 p3：概率无法指定的事件。Knight（1921）区分 risk（概率可指定）与 uncertainty（概率不可指定），但课件明确说这个严格区分并不关键，两个词常被 interchangeable 使用。本讲全部数学都建立在概率已知之上。	未来的结果无法事先确定	—
Risk也作：风险	风险	课件 p3：概率可以指定的事件。与 uncertainty 的区别在实际讨论中常被忽略（课件原话），但它划定了本讲的适用边界。	概率已知的随机事件	—
Fair game	公平博弈	课件 p11：期望收益等于成本的情形，如投入 1 美元、50% 得 2 美元 50% 得 0，期望恰为 1。风险厌恶者拒绝公平博弈——这个事实就是风险厌恶的定义式。	期望收益等于成本的赌博	风险厌恶
Diminishing marginal utility	边际效用递减	课件 p11： $U (1) - U (0) > U (2) - U (1)$ ，第一个 1 美元的效用增量大于第二个。这与风险厌恶是同一件事的两种说法—— $u^{''} < 0$ 就是边际效用递减，边际效用递减就是拒绝公平博弈。	同样的增量，越穷时越值钱	风险厌恶效用函数

B. 预期效用3 条

B. 预期效用
English	中文	教材定义	直觉解释	相关
Utility function	效用函数	课件 p6：度量行为人满足程度的函数。两条性质：递增 $u^{'} (x) > 0$ （多比少好，风险中性与风险偏好者也满足）与边际效用递减 $u^{''} (x) < 0$ （这才是风险厌恶）。注意这两条的分量完全不同，前者是所有理性决策的共同前提。	把财富换算成满足程度	风险厌恶期望效用
Expected utility也作：Eu	期望效用	课件 p8： $E u (X) = \sum_{x} P r {X = x} u (x)$ （离散）或 $E u (X) = \int u (x) f (x) d x$ （连续）。课件强调它由两个部分组成：probability 与 utility function——这把「客观分布」与「主观评价」乘在了一起。	每种结果先算效用、再按概率加权	效用函数
Jensen's inequality	Jensen 不等式	课件 p13： $u^{''} < 0$ （凹）时 $E u (X) < u (E [X])$ ； $u^{''} = 0$ 时相等； $u^{''} > 0$ 时反向。方向完全由曲率决定，这是本讲最容易记反的地方。它是「期望相同时偏好低风险」的严格依据。	凹函数下期望效用低于效用的期望	风险厌恶风险中性风险偏好

C. 风险态度4 条

C. 风险态度
English	中文	教材定义	直觉解释	相关
Risk aversion也作：风险规避	风险厌恶	课件 p12： $u^{''} (x) < 0$ ，效用函数严格凹。三个等价说法：拒绝公平博弈 / 边际效用递减 / Jensen 不等式方向为 $E u (X) < u (E [X])$ 。决策含义：期望收益相同时偏好风险更小的那个。这是 CAPM 里「风险调整后收益相同则偏好低风险」那条假设的来源。	偏好确定的收益	风险厌恶系数风险中性风险偏好
Risk neutral	风险中性	课件 p12： $u^{''} (x) = 0$ ，效用函数线性。此时 $E u (X) = u (E [X])$ 对任何分布成立，所以行为人对风险完全无差异，期望收益相同的两个 gamble 在他眼里等价。 $u (x) = 3 x$ 是典型例子。	对任何分布无所谓	风险厌恶风险溢价
Risk loving也作：风险偏好型	风险偏好	课件 p12： $u^{''} (x) > 0$ ，效用函数严格凸。 $E u (X) > u (E [X])$ ，因此期望收益相同时偏好风险更大的那个，且会接受甚至主动寻找公平博弈。 $u (x) = x^{2}$ 是典型例子。	主动寻找不确定的收益	风险厌恶
Risk aversion coefficient也作：A / 风险厌恶参数	风险厌恶系数	课件 p23：均值-方差目标函数 $U = E [r_{P}] - \frac{A}{2} σ_{P}^{2}$ 中的参数 $A$。$A$ 越大，同样方差带来的效用惩罚越大。例 6 用它决策： $A = 3$ 时 $U = 4.66% < r_{f}$ 拒绝， $A = 2$ 时 $U = 10.44% > r_{f}$ 接受。	均值-方差式里的风险惩罚强度	均值-方差分析

D. 风险度量12 条 · 另 8 条已折叠

D. 风险度量
English	中文	教材定义	直觉解释	相关
Certainty equivalent也作：CE / 确定性等价物	确定性等价	课件 p15： $u (C E) = E [u (X)]$ ——效用层面的等价，不是金额层面的等价。对凹的 u 恒有 $C E < E [X]$ 。例 4 中 $E [X] = 6.4$ 而 $C E = 3.98$ ，差距很大。	与 gamble 等效的确定收益	风险溢价
Risk premium	风险溢价	课件 p15： $r = E [X] - C E$ 。对风险厌恶者恒有 $r > 0$ （例 4 中 $r = 2.42$ ），对风险中性者 $r = 0$ 。注意与 CAPM 的市场风险溢价区分：那是市场整体的数字，本讲的是个体对特定风险的主观补偿。	为免风险愿意放弃的金额	确定性等价
Absolute risk aversion也作：ARA / 绝对风险厌恶	绝对风险厌恶度	课件 p17： $A R A (x) = - \frac{u ^{''} ( x )}{u ^{'} ( x )}$ 。分子是曲率、分母是斜率，两者相除做归一化。分类看它随财富怎么变：DARA（递减）、CARA（恒定）、IARA（递增）。	财富绝对水平上的风险规避强度	相对风险厌恶度
Relative risk aversion也作：RRA / 相对风险厌恶	相对风险厌恶度	课件 p20： $R R A (x) = x \cdot A R A (x) = - \frac{x u ^{''} ( x )}{u ^{'} ( x )}$ 。乘 $x$ 把「绝对」变成「相对」，因此与财富水平无关。与 ARA 由同一个 u 决定，不是独立测量的两个量，分类可以不同。	财富比例上的风险规避强度	绝对风险厌恶度

E. 均值-方差分析5 条 · 另 1 条已折叠

E. 均值-方差分析
English	中文	教材定义	直觉解释	相关
Mean-variance analysis也作：均值方差分析 / MV分析	均值-方差分析	课件 p22–23：目标函数 $U = E [r_{P}] - \frac{A}{2} σ_{P}^{2}$ 。三条正当性理由：(a) EUH 下的二次效用；(b) 收益率正态分布；(c) 直接看似乎合理——第三条是实务理由而非理论保证。核心优势是只需两个数，极其实用。	只用期望收益与标准差两个数做决策	二次效用风险厌恶系数
Indifference curve	无差异曲线	课件 p24： $(μ_{P}, σ_{P})$ 空间里给相同效用的组合的连线。由 $μ_{P} = U_{0} + \frac{A}{2} σ_{P}^{2}$ 给出——向上倾斜（斜率 $A σ_{P} > 0$ ）、凸向下（曲率 $A > 0$ ），两条都是求导得出的。与 CAPM 的直线不同。	相同效用的组合连成的线	均值-方差分析
Standard deviation也作：波动率 / sigma	标准差	课件 p23–26 用 $σ_{P}$ 表示组合的标准差，作为风险尺度的代理。注意均值-方差式里惩罚的是方差 $σ^{2}$ 而不是 $σ$ ，所以 $A$ 前面有 $\frac{1}{2}$ 这个系数。	收益的波动幅度	均值-方差分析
Blume and Friend	Blume 与 Friend 研究	课件 p27 引用：find the percentage invested in risky assets remains virtually unchanged。这个结果与课件 p21 的理论结论（对数效用与幂效用都是 CRRA）正好对应——CRRA 意味着相对风险厌恶恒定，最优风险资产比例不随财富变化。	实证：风险资产比例基本不变	相对风险厌恶不变

索引

跨讲概念索引

10 个概念在多讲中出现 · 点讲次直达该词条

同一个概念在不同讲里的深度不同。复习时先看这张表，能立刻知道「它第一次出现在哪、后来又怎么被展开」——不必逐讲翻目录。

跨讲概念索引：概念与其出现的所有讲次
概念	中文	出现于	该讲的定义
Allocative Efficiency	配置效率	第1讲 · 资产市场与资产价格第2讲 · 价格可预测性与市场有效性	资金是否被配置到最有效率用途的效率概念，其标准形式是帕累托效率。第2讲：（跨讲）第一讲：资金是否被配置到最有效率的用途，标准形式是帕累托效率；本讲：四种效率之一，信息效率与它相互独立。
Arbitrage	套利	第1讲 · 资产市场与资产价格第2讲 · 价格可预测性与市场有效性	无风险且零初始投入的策略；均衡时其收益必须为零。第2讲：（跨讲）第一讲：无风险且零初始投入的获利构造；本讲：它出现在两处——可预测性被套利抹平的反证，以及封闭式基金悖论中「为何套利没抹平价差」的追问。
Informational Efficiency	信息效率	第1讲 · 资产市场与资产价格第2讲 · 价格可预测性与市场有效性	资产价格是否以及在多大程度上反映了可得信息。第2讲：资产价格是否以及在多大程度上反映了可得信息。本讲给出其标准定义：完全且正确地反映所有相关信息。
Market Capitalization	市值	第1讲 · 资产市场与资产价格第2讲 · 价格可预测性与市场有效性	股价乘以流通股数得到的公司总价值。第2讲：（跨讲）第一讲：市值加权指数的权重基础；本讲：规模效应按它给股票分组。
Market Equilibrium	市场均衡	第1讲 · 资产市场与资产价格第2讲 · 价格可预测性与市场有效性	在给定信息下价格不再具有调整趋势的状态。第2讲：（跨讲）第一讲：套利施加约束后的价格状态；本讲：Fama 指出效率必须「在某个市场均衡模型的语境下」才有经验内容。
Mean-Variance Analysis	均值—方差分析	第1讲 · 资产市场与资产价格第2讲 · 价格可预测性与市场有效性	以预期收益的均值与方差刻画资产与组合的分析框架。第2讲：（跨讲）第一讲：以预期收益的均值与方差刻画资产与组合的框架，通向组合效率；本讲：衡量正常收益的候选模型家族所属的分析传统。
Operational Efficiency	运行效率	第1讲 · 资产市场与资产价格第2讲 · 价格可预测性与市场有效性	市场的组织与运行是否高效，体现在交易成本、清算效率与竞争程度上。第2讲：（跨讲）第一讲：市场组织运行是否高效，体现于交易成本、清算效率与竞争程度；本讲：与信息效率并列但不互相包含。
Price-Earnings Ratio	市盈率	第1讲 · 资产市场与资产价格第2讲 · 价格可预测性与市场有效性	每股价格除以每股盈利，表示按当前盈利水平多少年回本。第2讲：（跨讲）第一讲：P/E 是描述量不是判断量；本讲：它的倒数 E/P 构成价值效应的分组依据。
Stock Split	股票分割	第1讲 · 资产市场与资产价格第2讲 · 价格可预测性与市场有效性	在不改变公司市值的前提下增加股数、按比例降低每股价格的公司行为。第2讲：（跨讲）第一讲：指数除数的调整事由，分割后要调 divisor 以免指数假跌；本讲：事件研究的被检验事件之一，检验纯名义事件是否带偏价格。
Transaction Cost	交易成本	第1讲 · 资产市场与资产价格第2讲 · 价格可预测性与市场有效性	完成交易所需支出的佣金、税费与买卖价差等成本。第2讲：（跨讲）第一讲：摩擦市场里套利不成立的原因之一；本讲：它是「可预测性为何能残留」的一类解释——获利机会太小以至于不值得动手。

也可以按讲次查：第1讲词条表 · 第2讲词条表 · 第3讲词条表（点进去是全站检索也支持的 ⌘K 面板）

目录

如何使用这份笔记

推荐对照阅读

本讲学习目标

一页速览

全讲脉络

必背公式

必须能说出口的判断

为什么期望收益不够用

风险与不确定性：Knight 的区分，以及一个反直觉的起点

课件 p2 列出的五个 Key Points

例 1：期望收益相同的两个项目

常见误区

预期效用的框架

效用函数与期望效用的两种形式

回到例 1：课件 p7 的完整解答

常见误区

状态-行动-结果：决策的严格框架

风险态度：三种人

例 2：公平博弈与边际效用递减

例题精解先自己想一步，再展开对答案

常见误区

三种风险态度与 Jensen 不等式

例 3：同一个分布，三种人

例题精解先自己想一步，再展开对答案

常见误区

风险溢价与风险度量

确定性等价与风险溢价

常见误区

例 4：算一遍 CE 与风险溢价

例题精解先自己想一步，再展开对答案

风险厌恶的度量：ARA 与 RRA

例 5：两个经典效用函数属于哪一类

例题精解先自己想一步，再展开对答案

常见误区

均值-方差分析

均值-方差分析：二次效用的代价与红利

常见误区

例 6：均值-方差下的投资决策

第一问：A=3

第二问：A=2

例题精解先自己想一步，再展开对答案

常见误区

无差异曲线与实证证据

p24 的无差异曲线

p27：实证证据

常见误区

英文专业名词 · 直觉解释对照

A. 不确定性下的决策5 条 · 另 1 条已折叠

B. 预期效用3 条

C. 风险态度4 条

D. 风险度量12 条 · 另 8 条已折叠

E. 均值-方差分析5 条 · 另 1 条已折叠

跨讲概念索引

第一问： $A = 3$

第二问： $A = 2$