金融经济学 Financial Economics

例题 · 融资买入

1情境·投资者 A 指示券商 B 代买 XYZ 公司股票 100 股，当时市价每股 10 美元。双方约定，只要 B 手中持有相当于成交金额 40% 的保证金，A 的指令就照办。于是 A 立即支付 400 美元，B 相当于借给 A 600 美元；B 把这 100 股作为贷款抵押品持有。课件随即提问：股价高于 10 美元会怎样？跌到 5 美元会怎样？下面两个方向都算一遍。

2已知条件·

• 成交总额 = 100 × 10 = 1,000 美元
• 约定初始保证金 = 40%
• 自有出资 = 1,000 × 40% = 400 美元；向券商借入 = 1,000 − 400 = 600 美元
• 开仓时 collateral（持仓市值）= 1,000 美元；loan（借款）= 600 美元
• 维持保证金课件未给出，补算时按常见的 30% 处理

3逐步推导·

1. 先算成交总额100 × 10 = 1,000 美元。这一步是后面所有比例的基准：所有的 collateral、loan、保证金比例都以它为起点，把这一步跳过就容易在后面用错分母。
2. 拆出资金结构自有资金 400 美元，向券商借入 600 美元，合计恰好买下 1,000 美元的股票。注意借款数额在持有期内是固定的，除非主动还款。
3. 验算开仓时的实际保证金融资买入的公式是 (collateral − loan) / collateral，代入得 (1,000 − 600) / 1,000 = 40%，正好等于约定值，说明开仓合规。分子 400 美元就是账户里的自有资金，除以持仓市值得到的正是「我的钱占多少」。
4. 股价涨到 12 美元collateral 变成 100 × 12 = 1,200，loan 仍是 600，实际保证金 = (1,200 − 600) / 1,200 = 50%，比开仓时更宽松。此时自有资金的收益率 = (1,200 − 1,000) / 400 = 50%，而股价只涨了 20%，放大倍数正是初始保证金比例的倒数 1 / 0.4 = 2.5 倍。
5. 股价跌到 5 美元collateral 变成 500，loan 仍是 600，实际保证金 = (500 − 600) / 500 = −20%。权益已经是负的：投影差价为 500 美元损失，超过自有资金 400 美元，账户净额为 −100 美元。若要把实际保证金补回 40%，需向账户补款 X 使 (500 − (600 − X)) / 500 = 40%，解得 X = 300 美元。
6. 反推追缴触发价按 30% 维持保证金，解 (100P − 600) / (100P) = 0.30，得 70P = 600，P ≈ 8.57 美元。也就是说股价从 10 跌到 8.57 就会收到追缴通知；再往下到 6 美元时，权益恰好归零。这两个价位是两件不同的事，别混。

4结论·同一笔交易，股价涨 20% 变成自有资金赚 50%，跌到 8.57 美元就收到追缴通知，跌到 6 美元权益归零。杠杆放大的是比率，而且赚钱与亏钱的边界并不对称：往上没有上限，往下最多把本金亏完，并且追缴会在归零之前就发生。

5平行练习·

平行练习：另一位投资者买入 1,000 股，价格每股 25 美元，约定的初始保证金为 60%。请算出初始的实际保证金；股价跌到 20 美元时的实际保证金与自有资金收益率；以及维持保证金 30% 时的追缴触发价与权益归零价位。

• 成交总额 = 1,000 × 25 = 25,000 美元
• 自有出资 = 15,000 美元；借入 = 10,000 美元

答案：初始实际保证金 = (25,000 − 10,000) / 25,000 = 60%，与约定值一致。跌到 20 美元时：collateral = 20,000，loan 不变为 10,000，实际保证金 = (20,000 − 10,000) / 20,000 = 50%；自有资金收益率 = (20,000 − 25,000) / 15,000 = −33.3%，而股价只跌了 20%，放大倍数为 1 / 0.6 ≈ 1.67 倍。追缴触发价：解 (1,000P − 10,000) / (1,000P) = 0.30，得 700P = 10,000，P ≈ 14.29 美元。权益归零价位：1,000P = 10,000，P = 10 美元。

例题 · 卖空

1情境·投资者 A 与券商 B 有约定，允许 A 卖空 XYZ 的股票（股票可能借自 B 自有组合，或借自 B 其他客户的组合）。A 指示 B 卖空 100 股，市价每股 10 美元。B 把所得 1,000 美元存入 A 的保证金账户，并另外要求 400 美元存款。迟早 A 要买回 100 股还给借出方。课件提问：价格低于 10 美元是赚是亏？涨到 14 美元会怎样？

2已知条件·

• 卖空所得 = 100 × 10 = 1,000 美元，由券商代为保管
• 另行缴存的现金 = 400 美元
• collateral = 保证金账户中的现金 = 1,000 + 400 = 1,400 美元
• loan = 卖空资产的当前市值 = 100 × 10 = 1,000 美元
• 卖空的实际保证金公式为 (collateral − loan) / loan，分母不是 collateral

3逐步推导·

1. 验算开仓时的实际保证金(1,400 − 1,000) / 1,000 = 40%。数值与第 09 节融资买入例题完全相同，这正是最容易让人误以为两套公式一样的陷阱——请务必留意分母。
2. 股价跌到 6 美元（有利方向）此时 loan 即回补成本 = 100 × 6 = 600，账户现金不变，实际保证金 = (1,400 − 600) / 600 ≈ 133%。利润 = (10 − 6) × 100 = 400 美元，对 400 美元自有资金而言是 +100%。分母变小，比率上升得很快。
3. 股价涨到 14 美元（不利方向）loan 变成 100 × 14 = 1,400，与账户现金相等，实际保证金 = (1,400 − 1,400) / 1,400 = 0。亏损 = (14 − 10) × 100 = 400 美元，正好把那 400 美元存款全部吃掉，账户权益归零，券商必然追缴或强制平仓。
4. 反推追缴触发价按 30% 维持保证金，解 (1,400 − 100P) / (100P) = 0.30，得 1,400 = 130P，P ≈ 10.77 美元。也就是说只要比建仓价涨过约 7.7%，就会被要求补钱——做空的容错空间远小于融资买入。
5. 检查收益的上限与下限上限：股价最多跌到零，此时利润为 1,000 美元，对 400 美元本金是 +250%。下限：股价理论没有上限，损失也没有上限。这一点决定了为什么第 08 节里监管要限制谁能做空、在什么条件下做空。

4结论·卖空的收益有顶，最理想是股价跌到零；损失没有顶。同样的 40% 初始保证金，因为分母换成了会随价格膨胀的回补成本，比率对逆势波动更敏感：同样的 200 美元亏损，融资买入那一边还剩 25%，卖空这一边只剩 16.7%。

5平行练习·

平行练习：另一位投资者卖空某公司股票 500 股，每股 20 美元，券商的卖空所得全额记入保证金账户，初始保证金要求 40%。请算出需要额外缴存多少现金、建仓时的实际保证金；股价跌到 12 美元时的实际保证金与利润率；以及维持保证金 30% 时的追缴触发价。

• 卖空所得 = 500 × 20 = 10,000 美元
• 要求初始实际保证金 = 40%

答案：设额外存款 X，解 (10,000 + X − 10,000) / 10,000 = 40%，得 X = 4,000 美元，账户现金共 14,000 美元。跌到 12 美元时：loan = 500 × 12 = 6,000，保证金 = (14,000 − 6,000) / 6,000 ≈ 133.3%；利润 = (20 − 12) × 500 = 4,000 美元，对 4,000 美元本金为 +100%。追缴触发价：解 (14,000 − 500P) / (500P) = 0.30，得 14,000 = 650P，P ≈ 21.54 美元。

例题 · 三角套利

1情境·外汇市场给出三个报价：1 英镑兑 1.50 美元、15 单位日元兑 1 英镑、1 美元兑 12 单位日元。课件问：套利机会是否存在？若存在，请写出构造出的策略与利润。

2已知条件·

• 报价一：£1 = $1.50，即 R_$/£ = 1.50
• 报价二：￥15 = £1，即 R_¥/£ = 15
• 报价三：$1 = ￥12，即 R_¥/$ = 12
• 可借入任意所需货币，且忽略交易成本与报价的买卖价差；借款利息不做考虑

3逐步推导·

1. 先做一个最简单的直觉判断拿 1 英镑出发：按报价二直接换日元，得到 15 单位；绕道美元的话，先换到 1.50 美元，再按每美元 12 单位日元换成 18 单位。两条路径的结果不同，说明一价定律被违反了。
2. 写成一般式确认方向R_¥/£ = R_$/£ × R_¥/$ = 1.5 × 12 = 18（单位日元每英镑）。这里的 18 与市场直接报出的 15 相差 3，这个差额就是套利空间。注意中间货币美元一次在分母、一次在分子，正好消掉。
3. 构造零初始投入的策略借入 1 英镑（自己不出钱，满足 zero initial outlay）；按 1.50 换成 1.50 美元；按 12 换成 18 单位日元；最后按 15 单位日元兑 1 英镑换回 1.2 英镑。
4. 归还借款并结算取出 1 英镑归还借款，净得 0.2 英镑；按报价二折算，0.2 × 15 = 3 单位日元。所以每操作 1 英镑的无风险利润是 3 单位日元。
5. 回头核对两个成立条件风险：三个汇率在操作的同一瞬间全部锁定，策略不留任何价格敞口，满足无风险。初始投入：本金来自借款，自己一分钱没出，满足零初始投入。两条都满足，这确实叫套利，不是投机。
6. 做一个数量级自救检查把这一步写成 1.5 × 120 = 180，倒数写成 1/180 = 0.5556。只要回头对一下报价三——$1 = ￥12，而不是 120——就能看出这里多了个零。算完之后一定用直兑报价校一遍数量级，这是本例最重要的习惯。

4结论·存在套利机会，每操作 1 英镑净得 3 单位日元，而且因为没有风险也不占资金，这个策略可以无限放大——正因如此，它在真实市场里会被极快地吃光，价格回到使 R_¥/£ = 15 的位置。

5平行练习·

平行练习：报价为 1 欧元兑 1.10 美元、1 美元兑 150 单位日元、1 欧元兑 160 单位日元。请判断是否存在套利机会；若存在，写出策略与每 1 欧元的无风险收益。

• €1 = $1.10，即 R_$/€ = 1.10
• $1 = ￥150，即 R_¥/$ = 150
• €1 = ￥160，即 R_¥/€ = 160

答案：一致性要求 R_¥/€ = R_¥/$ × R_$/€ = 150 × 1.10 = 165，而市场直接报出 160，差 5，故存在套利。策略：借入 1 欧元，换成 1.10 美元，再换成 165 单位日元，最后按 160 单位日元兑 1 欧元换回 1.03125 欧元；归还 1 欧元后净得 0.03125 欧元，即 5 单位日元。

例题 1 · 两种加权给出相反答案

1情境·三只股票 X、Y、Z 在 2010 年 12 月 31 日与 2011 年 1 月 31 日的价格与股数如表 12 所示，期间没有拆股、也没有成分股变动。要求分别计算价格加权与市值加权两种指数的月收益率。

2已知条件·

• 年末股价：X 10 美元、Y 20 美元、Z 60 美元，合计 90 美元
• 股数两期不变：X 3,000、Y 1,000、Z 500
• 年末市值：X 30,000、Y 20,000、Z 30,000，合计 80,000
• 月末股价：X 20 美元、Y 15 美元、Z 40 美元，合计 75 美元
• 月末市值：X 60,000、Y 15,000、Z 20,000，合计 95,000
• 股价和值从 90 降到 75，市值总和从 80,000 升到 95,000——注意这两个合计值的方向已经相反

3逐步推导·

1. 算价格加权的期初指数每股二等权，取除数 3（期间无拆股、无需调整）：90 / 3 = 30。
2. 算价格加权的期末指数与收益率75 / 3 = 25；月收益率 = 25 / 30 − 1 ≈ −16.7%。这里每只股票的权重等于它的股价占比：Z 占 60 / 90 = 66.7%，X 只占 10 / 90 = 11.1%。
3. 算市值加权的指数以年末为基期、设基期指数值为 100：期末 = 95,000 / 80,000 × 100 = 118.75；月收益率 = 118.75 / 100 − 1 = +18.75%。这里每只股票的权重等于它的市值占比：X 与 Z 各占 30,000 / 80,000 = 37.5%，Y 占 25%。
4. 给两个答案的差别找原因Z 是股价最高的股票，在价格加权里占三分之二的比重，而它跌了 33.3%，于是把价格加权拖成负收益。X 与 Z 的市值完全相同，都是 30,000，但 X 的股价只有 Z 的六分之一，在价格加权里几乎没有话语权——而 X 恰好涨了 100%。市值加权给两者同等权重，涨的那只与跌的那只相抵之后仍然为正。

4结论·同一批股票、同一个月：价格加权 −16.7%，市值加权 +18.75%，相差约 35 个百分点，连符号都相反。这不是算错，而是两把尺子在量两个不同的组合——价格加权回答的是每只买一股会怎样，市值加权回答的是按市值比例持有市场会怎样。课件把这一题放在最后一节，原因正在于此。

5平行练习·

平行练习：保持三只股票的价格完全不变，只把 X 与 Z 的股数对调——X 改为 500 股、Z 改为 3,000 股，Y 不变。此时两种加权的月收益率各是多少？

• 年末市值：X = 10 × 500 = 5,000；Y = 20,000；Z = 60 × 3,000 = 180,000，合计 205,000
• 月末市值：X = 20 × 500 = 10,000；Y = 15,000；Z = 40 × 3,000 = 120,000，合计 145,000

答案：价格加权仍然是 −16.7%：股数根本不进这个公式，价格没变，结果就不变。市值加权变为 145,000 / 205,000 − 1 ≈ −29.3%。这一题把两种加权的性格差异摆在明面上：一个完全不看公司大小，另一个完全由公司大小决定。

例题 2 · 谁翻倍，结果差别有多大

1情境·三家公司 A、B、C 的股数与股价如表 13 所示。课件用这组数字说明：同样是「某只股票价格翻倍」，价格加权与市值加权给出的答案完全不同。请分别算出两种指数在 A 翻倍与 C 翻倍时的取值。

2已知条件·

• A：100 股，每股 100 美元，市值 10,000
• B：1,000 股，每股 10 美元，市值 10,000
• C：10,000 股，每股 1 美元，市值 10,000
• 三家市值合计 30,000，且三家市值完全相等
• 价格加权的除数取 3；市值加权以当前为基期、设基期指数值为 100

3逐步推导·

1. 算价格加权的基准值(100 + 10 + 1) / 3 = 111 / 3 = 37。注意这里 A 的权重是 100 / 111 ≈ 90%，C 只有 1 / 111 ≈ 0.9%，两者相差一百倍。
2. A 股价翻倍时的价格加权(200 + 10 + 1) / 3 = 211 / 3 ≈ 70.33，比基准上涨 90.1%。因为 A 在价格加权里占近九成，它涨多少指数就涨多少。
3. C 股价翻倍时的价格加权(100 + 10 + 2) / 3 = 112 / 3 ≈ 37.33，只比基准上涨 0.9%。同样是「一家公司股价翻倍」，指数几乎纹丝不动。课件因此说价格加权不是资产价值变动的良好指示器。
4. 市值加权下 A 翻倍总市值 = 100 × 200 + 1,000 × 10 + 10,000 × 1 = 20,000 + 10,000 + 10,000 = 40,000；指数 = 40,000 / 30,000 × 100 ≈ 133.33。
5. 市值加权下 C 翻倍总市值 = 100 × 100 + 1,000 × 10 + 10,000 × 2 = 10,000 + 10,000 + 20,000 = 40,000；指数同样 ≈ 133.33。由于三家市值本来相同，任意一家翻倍都让总市值增加一个相同的 10,000，结果必然相同。课件把这个结果取整写成了 133。
6. 顺手验证拆股的自动处理若 C 进行一拆二，股价从 1 美元变成 0.5 美元、股数从 10,000 变成 20,000，市值是同一个 10,000——市值加权感受不到这件事，不需要除数补丁。而价格加权的股价之和会从 111 掉到 110.5，必须调整除数才能保持不变。这就是第 15 节讲的市值加权天然处理拆股。

4结论·价格加权把 A 与 C 看成天差地别的两件事（+90.1% 对 +0.9%），市值加权把它们看成完全一样的事（都是 133.33）。差别来自课件刻意选的数字：三家的市值完全相同，只有股数与股价的组合不同。想衡量这批资产的价值怎么变了，应该用的是市值加权。

例题 3 · 算术与几何

1情境·三只股票的初始价格与当前价格已知，初始等权重指数值为 131。要求分别用算术平均与几何平均算出指数收益率与新的指数值。

2已知条件·

• A：初始 12 美元，当前 15 美元
• B：初始 52 美元，当前 48 美元
• C：初始 38 美元，当前 45 美元
• 初始指数值 131

3逐步推导·

1. 逐只算出收益率A：15 / 12 − 1 = +25%；B：48 / 52 − 1 ≈ −7.7%；C：45 / 38 − 1 ≈ +18.4%。这一步用 X_i = P_t+1 / P_t − 1，即每只股票的持有期收益率。
2. 取算术平均(25% − 7.7% + 18.4%) / 3 = 35.7% / 3 = 11.9%。注意负号：B 是下跌的，必须带符号进平均。
3. 由算术平均得到新指数值131 × (1 + 11.9%) = 131 × 1.119 ≈ 146.59。
4. 换成 gross 形式准备几何平均几何平均不能对带负号的收益率直接连乘，必须先加 1：1.25、0.923、1.184。它们分别是 A、B、C 的价格之比。
5. 连乘并开三次方1.25 × 0.923 × 1.184 ≈ 1.366；开三次方 1.366^1/3 ≈ 1.1096，减回 1 得 10.96%。
6. 由几何平均得到新指数值并比较131 × 1.1096 ≈ 145.36。几何平均的结果比算术平均低约 1.23 个指数点，对应收益率低 0.94 个百分点。

4结论·收益率里既有涨又有跌时，几何平均恒小于算术平均，波动越大差距越大——这不是舍入误差，而是复利本身的算术性质。跨期衡量应当用几何平均，因为它对应实际能拿到手的复合收益；算术平均更适合描述「每个时点上的平均」。

5平行练习·

平行练习：两只股票的收益率分别为 +50% 与 −40%，初始指数值为 200。请分别用算术平均与几何平均算出新的指数值，并说明为什么算术平均会给出误导性的结果。

• X₁ = +50%，X₂ = −40%
• 初始指数值 200

答案：算术平均 = (50% − 40%) / 2 = 5%，新指数 = 200 × 1.05 = 210。几何平均 = (1.50 × 0.60)^1/2 − 1 = 0.90^1/2 − 1 ≈ −5.13%，新指数 ≈ 189.74。这组数字刺眼的地方在于：一个说赚了，一个说亏了。正确的读法是分开问——等额持有一期时，期末总价值 = 0.5 × 1.50 + 0.5 × 0.60 = 1.05 倍，确实盈利 5%，所以对这个一期指数而言算术平均给的是真实结果；几何平均回答的是另一个问题，即把两段收益当作先后两期复合时，等价于每期 −5.13%。所以课件说几何平均给出较低的指数值，并不是指算术算错了，而是两种平均指向不同的场景：同一时点的横截面平均用算术，跨期的复合用几何。